АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Лекция 1 Матрицы Преподаватель Ананьева

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Лекция 1. Матрицы Преподаватель: Ананьева М. С.

1. 1. Основные понятия n n Определение 1 Матрица – прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов из mn элементов

1. 1. Основные понятия n n Определение 1 Числа – элементы матрицы

1. 1. Основные понятия n n Определение 1 Числа – элементы матрицы n i – номер строки n j – номер столбца

1. 1. Основные понятия n Обозначения матриц

1. 1. Основные понятия n Размерность матрицы ¨ Кол-во n (m n) строк кол-во столбцов

1. 1. Основные понятия n n Определение 2 Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы, т. е. стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны

n n n Определение 2 Матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы, т. е. стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны 1. 1. Основные понятия Обозначается А=В

1. 1. Основные понятия n n Определение 3 Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой ¨ - «тета» (греч. )

n n n 1. 2. Действия над матрицами: сложение Определение 4 Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц С=A+B, где

1. 2. Действия над матрицами: сложение n n Пример 1. Дано: а) Вычислите матрицу А+В Решение.

1. 2. Действия над матрицами: n Определение 5 вычитание n n Разностью матриц A и B одинаковой размерности называется матрица D той же размерности, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц D=A–B , где

1. 2. Действия над матрицами: вычитание n Пример 1. Дано: n а) Вычислите самостоятельно матрицу А-В n

1. 2. Действия над матрицами n Пример 1. Дано: n а) Вычислите самостоятельно матрицу А-В n Ответ: n

1. 2. Действия над матрицами: умножение на число n n Определение 6. Произведением матрицы A на действительное число α ( 0) называется матрица F=αА, каждый элемент которой есть произведение элементов матрицы А на α, т. е.

1. 2. Действия над матрицами: умножение на число n n Пример 2. Дано: а) Вычислите матрицу 5 А Решение.

1. 2. Действия над матрицами: умножение на число n n Определение 7. Противоположной к матрице А называется матрица, элементы которой получаются умножением элементов матрицы А на – 1, т. е. –А.

1. 2. Действия над матрицами: умножение на число n Пример 2. Дано: n Составьте противоположную матрицу n

1. 2. Действия над матрицами: умножение на число n n Пример 2. Дано: Составьте противоположную матрицу Решение.

1. 2. Свойства линейных операций над матрицами n Операции сложения и вычитание в алгебре называют операциями алгебраического сложения n Операции сложения и умножения на действительное число называют линейными операциями

1. 2. Свойства линейных операций над матрицами

1. 2. Действия над матрицами: умножение n Операция умножения матриц определяется только для согласованных матриц, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы n Порядок матриц важен!

1. 2. Действия над матрицами: умножение n n Определение 8. Произведением согласованных матриц A и B размерности (m n) и (n p) называется матрица C размерности (m p), каждый элемент которой, стоящий на пересечении i-й строки и k-го столбца, получается как сумма произведений каждого элемента i-й строки матрицы A на соответствующий элемент k-го столбца матрицы B

1. 2. Действия над матрицами: умножение n n Определение 8. Произведением согласованных матриц A и B размерности (m n) и (n p) называется матрица C размерности (m p), каждый элемент которой, стоящий на пересечении i-й строки и k-го столбца, получается как сумма произведений каждого элемента i-й строки матрицы A на соответствующий элемент kго столбца матрицы B

1. 2. Действия над матрицами: умножение n n Определение 8. Произведением согласованных матриц A и B размерности (m n) и (n p) называется матрица C размерности (m p), каждый элемент которой, стоящий на пересечении i-й строки и k-го столбца, получается как сумма произведений каждого элемента i-й строки матрицы A на соответствующий элемент kго столбца матрицы B Размерность: (m n) (n p) = (m p)

1. 2. Действия над матрицами: умножение n n Определение 8. Произведение согласованных матриц A и B размерности (m n) и (n p) называется матрица C размерности (m p)

1. 2. Действия над матрицами: умножение

1. 2. Действия над матрицами: умножение n Примеры 4. а)

1. 2. Действия над матрицами: умножение n Примеры 4. б)

1. 2. Действия над матрицами: умножение n Примеры 4. в)

1. 2. Свойства умножения матриц

1. 2. Свойства умножения матриц n 5. Произведение ненулевых матриц может равняться нулю даже тогда, когда ни один из множителей не является нулевой матрицей

1. 2. Свойства умножения матриц n Примеры 4. г) n д)

1. 2. Свойства умножения матриц n 6. Коммутативный (переместительный) закон умножения для большинства матриц не выполняется АВ ВА n n Размерность АВ: (m n) (n p) = (m p) Размерность ВА: (n p) (m n) ¨ в общем случае матрицы ВА не согласованы

1. 2. Свойства умножения матриц Определение 9. n Матрицы, для которых выполняется коммутативность умножения (АВ=ВА) называются коммутативными (перестановочными) n

1. 2. Свойства умножения матриц n Произведения АВ и ВА одновременно определены только для квадратных матриц Размерность АВ: (n n) = (n n) n Размерность ВА: (n n) = (n n) n

1. 2. Действия над матрицами: возведение в степень n n Для квадратных матриц определено n-кратное умножение, т. е. операция возведения в степень Аn

1. 2. Действия над матрицами: возведение в степень n Пример 5.

1. 3. Виды матриц n Если m=n матрица называется квадратной, а число n – ее порядком. n Определение 10. Квадратной матрицей порядка n называется совокупность n 2 элементов, расположенных в квадратной схеме n

1. 3. Виды матриц n Элементы образуют главную диагональ, n элементы составляют побочную диагональ.

1. 3. Виды матриц n n n Определение 11. Квадратная матрица, у которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной (верхняя и нижняя) Прямоугольная матрица, у которой элементы верхнего или нижнего углов образуют треугольник из нулей, называется трапециевидной

1. 3. Виды матриц n n Определение 12. Квадратная матрица, у которой все элементы, выше и ниже элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной n на диагонали могут быть нулевые элементы ¨ не все

1. 3. Виды матриц n n Определение 13. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной

1. 3. Виды матриц n n n Определение 14. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной Матрица, у которой несколько первых элементов главной диагонали равны единице, а остальные элементы матрицы равны 0, называется канонической

1. 3. Виды матриц n n n Определение 15. Матрица, содержащая один столбец элементов, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом Матрица, содержащая одну строку элементов, называется матрицей-строкой или вектором-строкой

1. 3. Виды матриц n Любое число есть матрица размерности (1 1)

1. 4. Преобразование матриц: транспонирование n n Определение 16. Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной и обозначается АТ

1. 4. Преобразование матриц: транспонирование Свойства транспонирования 1. 2. 3. 4. Двойное транспонирование матрицы дает ту же матрицу Транспонированная матрица суммы матриц равна сумме транспонированных слагаемых матриц Транспонированная матрица произведения двух матриц равна произведению транспонированной второй матрицы на транспонированную первую Транспонированная матрица симметрична данной относительно главной диагонали

1. 4. Преобразование матриц: элементарные преобразования n n n перестановка двух строк (столбцов) присоединение строки (столбца) из нулей исключение строки (столбца) из нулей умножение всех элементов строки (столбца) на действительное число линейная комбинация строк (столбцов), т. е. прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на какое-либо число

1. 4. Преобразование матриц: элементарные преобразования n Определение 17. Матрица, полученная из данной путем элементарных преобразований, называется эквивалентной (равносильной) данной матрице. n Записывают А В или А В n n С помощью элементарных преобразований можно любую матрицу свести к треугольной (трапециевидной), единичной (канонической) матрице

1. 4. Преобразование матриц: элементарные преобразования пример 6