АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Кривые второго порядка Беленький Павел Павлович кандидат педагогических наук, доцент кафедры ОНП
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Кривые второго порядка Определение. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка где вещественные числа, и хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Окружность Теорема. Окружность радиуса R с центром в точке М 0(x 0; y 0) имеет уравнение (*) Доказательство. Пусть точка М(x; y) текущая точка окружности. По определению окружности расстояние ММ 0 равно R По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (*). Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Окружность Пример. Нарисуйте кривую Решение. Выделив полные квадраты, получим Итак, центр окружности , радиус равен 2:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Эллипс Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отметим, что эллипс - это кривая, получающаяся как проекция на плоскость П окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью П. В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Эллипс Пусть F 1 и F 2 - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка F 1 F 2 . Ось Ox направим вдоль этого отрезка, ось Oy - перпендикулярно к этому отрезку. Теорема 12. 2 Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна 2 a , а расстояние между фокусами - 2 c. Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение, (**). где
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Эллипс Доказательство. Пусть М(x, y) - текущая точка эллипса. По определению эллипса . Из треугольника видно, что , есть то 2 a>2 c, a>c , и поэтому число существует. Фокусами в выбранной системе координат являются точки Найдем расстояние Тогда по определению эллипса Перенесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат: раскроем скобки и приведем подобные члены Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат Раскроем скобку и приведем подобные члены Учитывая, что , имеем равенство Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (**). Уравнение (**) называется каноническим уравнением эллипса.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Свойства эллипса 1 Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (**), то его осями симметрии служат оси Ox и Oy, начало координат - центр симметрии. Доказательство. Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса, но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (**). Пусть эллипс задан уравнением (**) и - какая-то точка эллипса. Тогда (***). Точка является точкой, симметричной точке М 1 относительно оси Oy. Вычисляем значение уравнения (**) в точке M 2 левой части В силу равенства (***) получаем следовательно, точка M 2 лежит на эллипсе.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Построение эллипса Очевидно, что в точке y=0 эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке (a; 0) существует. Легко проверить, что она параллельна оси Oy. Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных Определение 12. 4 Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Свойства эллипса Точка относительно оси Ox является точкой симметричной точке M 1 Для нее аналогичным путем убеждаемся, что то есть M 3 является точкой эллипса. Наконец точка является симметричной точке M 1 относительно начала координат. Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение доказано, если эллипс имеет уравнение (**). А так как любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то свойство 1 полностью доказано.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Построение эллипса Проведем построение эллипса, заданного уравнением (**). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив y из уравнения (**) и взяв перед корнем знак «+» . Построим график этой функции. Область определения – отрезок [-a; a], y(0)=b, при увеличении переменного x от 0 до a функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси Oy функция монотонно растет при изменении x от –a до 0. Производная определена во всех точках интервала (a, b) и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная отрицательна во всех точках интервала (a, b) , следовательно, график -- выпуклый вверх. Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка [-a; a]. Выразим из уравнения (**) переменное
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Построение эллипса Если эллипс задан каноническим уравнением, то его вершины имеют координаты (-а; 0); (0; -b); (0; b) , большая полуось равна a, малая полуось равна b. Величина c , являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется как Замечание. Уравнение (**) было получено в предположении, что F 1 F 2 - различные точки, то есть с>0. Тогда b<c. Но кривую, определяемую уравнением (**), мы можем рассмотреть и в случае a=b, (c=0). Уравнение (12. 4) в этом случае после умножения на a 2 примет вид x 2 + y 2 = a 2 . Это - уравнение окружности радиуса a с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда то есть окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали. Эксцентриситет эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса 0<ε<1.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Построение эллипса Если задано каноническое уравнение эллипса и требуется его построить, то для отображения качественных характеристик достаточно правильно отметить вершины эллипса и провести через них линию, похожую на кривую рис. 12. 4, выдерживая симметрию и избегая образования углов на рисунке. Если же из рисунка предполагается получать числовую информацию о координатах его точек, то тогда построение следует проводить более точно. Нужно построить по точкам верхнюю половину эллипса как график функции взяв для построения достаточно много точек, а нижнюю половину эллипса получить, используя его симметрию. С другим способом построения эллипса можно познакомиться в курсе черчения.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Свойства эллипса Свойство 2. Пусть F 1 и F 2 - фокусы эллипса, М – произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендукуляр к касательной) к эллипсу в точке М делит угол F 1 МF 2 пополам. Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от поверхности, пройдут через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет одинаковой.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Эллипс Пример. Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение Это -- каноническое уравнение эллипса, a=3; b=2. Делаем чертеж Находим Эксцентриситет - , . Фокусы
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Эллипс его Пример. Нарисуйте эллипс айдите сы . эксцентриситет. Решение. Уравнение запишем в виде Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как в соответствии с уравнением (**) в нем a=1; b=2 , а должно быть b<a. Однако, если переобозначить оси, то есть положить , то уравнение в координатах примет вид Это -- каноническое уравнение эллипса при a=2; b=1. Делаем чертеж
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Эллипс Находим имеют координаты . Значит, фокусы в системе координат ; , а в системе координат (x; y) – ; . Эксцентриситет равен Замечание. Из примера ясно, что построение кривой (эллипса) с уравнением (**) при a<b можно вести так же, как и для эллипса, заданного каноническим уравнением: отложить полуось a на оси Ox , полуось b – на оси Oy и через получившиеся вершины провести эллипс. Различие заключается в том, что фокусы теперь располагаются на оси ординат (большой оси), величину c нужно вычислять по формуле , и
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная. Для получения канонического уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось абсцисс направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Теорема. Пусть расстояние между фокусами F 1 и F 2 гиперболы равно 2 c, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна 2 a. Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение где Доказательство. Пусть M(x; y) - текущая точка гиперболы: Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то |F 1 M – F 2 M|< F 1 F 2, то есть 2 a<2 c, a<c. В силу последнего неравенства вещественное число b, определяемое формулой, существует.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола По условию, фокусы F 1(–c; 0), F 2(c; 0). По формуле расстояния между двумя точками для случая плоскости По определению гиперболы Это уравнение запишем в виде Обе части возведем в квадрат: После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Опять обе части возведем в квадрат: Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим После преобразования уравнение принимает вид Разделим обе части уравнения на a 2 b 2 и получим искомое уравнение Которое называется каноническим уравнением гиперболы.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Свойств 1. Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси , а начало координат -- центр симметрии гиперболы. Доказательство. Проведем построение гиперболы, заданной каноническим уравнением. Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения y как функцию x, при условии, что y>0, и построим график этой функции. Область определения – интервал [a; +∞); y(a)=0, функция монотонно растет. Производная существует во всей области определения, кроме Следовательно, график – гладкая кривая (без углов). точки a.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Вторая производная Проверим график на наличие асимптоты при x +∞. Пусть асимптота имеет уравнение математического правилам по Тогда . анализа Выражение под знаком предела домножим и разделим на Получим График функции имеет асимптоту
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Из симметрии гиперболы следует, что оже симптота. -т а Остается неясным характе кривой в окрестности точки (a; 0), а именно,
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Определение 12. 6 Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением, с осью Ox называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками (0; -b), (0; b) называется мнимой осью. Числа a, b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Равносторонняя гипербола
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола Из формулы получим Пример. Постройте гиперболу эксцентриситет. Решение. Преобразуем уравнение к виду . Тогда фокусы . Найдите ее фокусы и Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед x 2, y 2 противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные , то в новых переменных получим каноническое уравнение :
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Гипербола
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы. Определение Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса F опустим перпендикуляр FD на директрису l. Начало координат O расположим на середине отрезка FD , ось Ox направим вдоль отрезка FD так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора DF. Ось Oy проведем перпендикулярно оси Ox.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола Теорема Пусть расстояние между фокусом F и директрисой lпараболы равно p. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение y 2=2 px. Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение x=-p/2. Пусть M(x; y) - текущая точка параболы. Тогда по формуле расстояния между двумя точками находим Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK, опущенного на директрису из точки M. Из рисунка очевидно, что MK=x+p/2. Тогда по определению параболы MK=FM, то есть Возведем обе части последнего уравнения в квадрат: После приведения подобных членов получим уравнение y 2=2 px. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола Свойство Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью Ox. Доказательство. Проводится так же, как и в предыдущем случае. Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы. Если переобозначить переменные , то уравнение y 2=2 px можно записать в виде который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола Пример. Постройте параболу y 2=3 x. Найдите ее фокус и директрису. Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, 2 p=3, p=1. 5. Осью параболы служит ось Ox , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси Ox. Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному y и находим значения x. Возьмем точки (1/3; 1), (4/3; 2), (3; 3). Учитывая симметрию относительно оси Ox , рисуем кривую
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола Фокус F лежит на оси Ox на расстоянии p/2 от вершины, то есть имеет координаты (0. 75; 0). Директриса l имеет уравнение x=-0. 75. Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света. Свойство сформулируем опять без доказательства.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола Свойство Пусть F - фокус параболы, M - произвольная точка параболы, l - луч с началом в точке M параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке M делит угол, образованный отрезком FM и лучом l, пополам. Отражение светового луча от параболы
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Парабола Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса F , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Пусть начало O 1 "новой" системы координат имеет в "старой" системе координаты (x 1; y 1) , и пусть M - некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки M в "старой" системе координат (x 0; y 0) , а в "новой“ . Из рис. ясно, что Откуда Так как точка M взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат: Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Предложение Пусть некоторая кривая задана уравнением F(x; y)=0. Тогда в системе координат , полученной параллельным переносом, с началом в точке O 1(x 1; y 1) уравнение кривой будет иметь вид Для практического использования сформулировать немного подругому. это предложение удобнее Предложение Пусть некоторая кривая задана уравнением F(x-x 1; y-y 1)=0. Тогда в системе координат , полученной параллельным переносом, с началом в точке O 1(x 1; y 1) уравнение кривой будет иметь вид Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул связи между старыми и новыми координатами.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Эллипс, заданный уравнением Находим Фокусы в новой системе координат имеют координаты , Используя формулы параллельного переноса системы координат, находим старые координаты фокусов: Таким образом, фокусами являются точки
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Пример Постройте параболу найдите ее фокус и директрису. Решение. Преобразуем уравнение к виду и выделим полный квадрат по переменному х: Из этого уравнения получим Произведем параллельный перенос осей координат: новое начало координат O 1(3; -2). , В новых координатах уравнение параболы примет вид , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: то получим уравнение Это уравнение -- каноническое, 2 p=2, p=1. Строим оси и параболу:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Парабола, заданная уравнением В системе координат фокус имеет координаты (0. 5; 0) , а директриса задается уравнением В системе координаты фокуса (0; -0. 5) , а уравнение директрисы Наконец, в исходной системе координат x. Oy получим фокус F(3; -2. 5) и уравнение директрисы y=-1. 5, что и служит ответом к задаче.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Пример Постройте кривую Решение. Преобразуем уравнение к виду Возведем обе части в квадрат: При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют исходному уравнению. Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному y: то есть Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Нарисуем его Эллипс, заданный уравнением Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем исходное уравнение к виду: Из этого уравнения видно, что x≤-1. Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Параллельный перенос системы координат Кривая, заданная уравнением Последний рисунок и является ответом к задаче.
Скачать презентацию АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Кривые второго порядка Беленький Павел
Кривые.ppt