АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Элементы аналитической геометрии. Беленький Павел Павлович кандидат педагогических наук, доцент кафедры ОНП
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Общее уравнение плоскости Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора , называемого вектором нормали к плоскости.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Общее уравнение плоскости Возможны следующие частные случаи: А = 0 – плоскость параллельна оси Ох В = 0 – плоскость параллельна оси Оу С = 0 – плоскость параллельна оси Оz D = 0 – плоскость проходит через начало координат А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости х. Оу А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости х. Оz В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости y. Oz А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью х. Оу А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью x. Oz В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью y. Oz
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости, проходящей через три точки Для того, чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2), M 3(x 3, y 3, z 3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1, М 2, М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны, т. е. ( )=0. Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через три точки:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости. Пусть заданы точки М 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2) и вектор Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М 2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору Векторы и вектор должны быть компланарны, т. е. ( )=0. Уравнение плоскости:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости по точке и вектору нормали Теорема. Если в пространстве задана точка М 0(х0, у0, z 0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору нормали имеет вид: A(x – x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) = 0.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости в отрезках Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на –D , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках: Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Уравнение плоскости в векторной форме где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z), - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, , и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z, p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Расстояние от точки до плоскости Расстояние от произвольной точки М 0(х0, у0, z 0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Примеры Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой: A(x – x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) = 0.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Примеры Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3 х + 2 у – z + 5 = 0. Вектор нормали к плоскости 3 х + 2 у – z + 5 = 0: параллелен искомой плоскости. Получаем:
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Примеры Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4 x – 3 y + 12 z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р: 16 + 9 + 144 + D = 0 D = -169 Итого, получаем искомое уравнение: 4 x – 3 y + 12 z – 169 = 0
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Примеры Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1(1; 0; 3), A 2(2; -1; 3), A 3(2; 1; 1), A 4(1; 2; 5). 1)Найти длину ребра А 1 А 2. 2)Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Примеры 3) Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3. Сначала найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3 : , как векторное произведение векторов и = (2 -1; 1 -0; 1 -3) = (1; 1; -2); Найдем угол между вектором нормали и вектором ; – 4 =– 8. Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 900 - .
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Примеры 4) Найти площадь грани А 1 А 2 А 3. 5) Найти объем пирамиды. (ед 3).
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Примеры 6) Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3. Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки. 2 x + 2 y + 2 z – 8 = 0 x + y + z – 4 = 0.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Расстояние от точки до плоскости
Скачать презентацию АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Элементы аналитической геометрии. Беленький
Плоскость.ppt