АЛГЕБРА 3 -й семестр Доцент Мартынова Т А

АЛГЕБРА (3 -й семестр) Доцент Мартынова Т. А. 2010 -11 учебный год

МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Доцент Мартынова Т. А. ЛЕКЦИЯ 7

§ 5. Отделение кратных множителей. n n n Эффективных методов разложения многочлена на неприводимые множители нет. Более того, даже критериев приводимости и неприводимости над произвольным полем P нет. В этом параграфе мы укажем способ, который позволяет выделить произведение неприводимых множителей одинаковой кратности, а это во многих случаях облегчает задачу разложения на неприводимые множители. Введем сначала понятие кратного неприводимого множителя многочлена.

1. Кратные неприводимые множители. n n Определение 1. Говорят, что неприводимый над полем P многочлен p(x) является множителем кратности k для многочлена f(x) из кольца P[x] или что p(x) входит в разложение f(x) с кратностью k, если f(x) делится на p(x)k и не делится на p(x)k+1, т. е. многочлен f(x) представим в виде f(x)= p(x)kq(x), (1) где q(x) не делится на p(x). Множители кратности 1 называются простыми.

1. Кратные неприводимые множители. n Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x) P[x] с кратностью k, то входит в разложение производной f’(x) с кратностью k-1. ◘ В самом деле, дифференцируя равенство n n f(x)= p(x)kq(x), (1) получим n n Второе слагаемое в квадратной скобке делится на p(x), но первое не делится, т. к. p’(x) и q(x) не делятся на p(x). Следовательно, сумма в квадратной скобке не может делиться на p(x). Таким образом, p(x) входит в разложение f ’(x) с кратностью k-1 ◙ .

1. Кратные неприводимые множители. n n Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x) P[x] с кратностью k, то входит в разложение производной ) с кратностью k-1. Следствие 1. Если c – корень многочлена f(x) кратности k, то c является корнем кратности k -1 для его производной. Следствие 2. Если – каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов, то. ◙ Следствие 3. Многочлен над полем Р не имеет кратных множителей тогда и только тогда, когда он взаимно прост со своей производной.

2. Отделение кратных множителей. n n n Пусть. Введем обозначения: Y 1, Y 2, …, Ys – произведение всех неприводимых нормированных множителей соответственно кратности 1, 2, …, k в каноническом разложении f(x). Тогда. (2) Наша задача будет состоять в том, чтобы найти многочлены Y 1, Y 2, …, Ys.

2. Отделение кратных множителей. n Согласно следствию 2 из теоремы 1 имеем: n Составим теперь многочлены

2. Отделение кратных множителей. n Отсюда, поделив каждое из полученных равенств на следующее за ним равенство, получим равенства: . n Подставляя теперь найденные значения an. Y 1, Y 2, …, Ys в равенство (2), имеем , n где.

2. Отделение кратных множителей. n n Пример. Отделить кратные множители многочлена. Решение. 1) Находим многочлены Di : , ; , . 2) Находим многочлены Еi: , n 3) Находим многочлены Yi: , n , Ответ: , . . .

§ 6. Рациональные дроби n Основной задачей этого параграфа является обоснование того, что любая правильная рациональная дробь является суммой простейших.

§ 6. Рациональные дроби n n n Так кольцо P[x] многочленов с коэффициентами из поля Р является областью целостности, для него можно построить поле частных P(x). Элементы этого поля определяются парой многочленов f(x) и h(x) 0 из кольца P[x] и называются рациональными дробями. Само поле P(x) называется полем рациональных дробей. Как и в любом поле, в P(x) имеют место обычные условия равенства двух дробей и правила их сложения, вычитания, умножения и деления.

§ 6. Рациональные дроби n n Ясно, что любую рациональную дробь можно выражать единственным образом, сократив их, т. е. поделив числитель и знаменатель на их НОД. Тогда числитель и знаменатель будут взаимно просты. Определение 1. Если в рациональной дроби степень числителя меньше степени знаменателя, то она называется правильной. Нулевой многочлен 0 тоже будем считать правильной дробью.

§ 6. Рациональные дроби n n n Т е о р е м а 1. Всякая рациональная дробь представима и притом единственным образом в виде суммы многочлена из кольца P[x] и правильной дроби. ◘ По теореме о делении с остатком для многочленов имеем f(x)=h(x)q(x)+r(x), degr(x)< degh(x). Отсюда по правилам сложения дробей где q(x) – многочлен из P[x] , а – правильная дробь. Предположим, что где degr*(x)< degh*(x). Тогда , где слева записан многочлен, а справа – правильная дробь.

§ 6. Рациональные дроби n n Т е о р е м а 1. Всякая рациональная дробь представима и притом единственным образом в виде суммы многочлена из кольца P(x) и правильной дроби. Это равенство возможно лишь при q(x)-q*(x)=0. Но тогда и. n Таким образом, q(x)=q*(x), n и единственность представления доказана. ◙ n

§ 6. Рациональные дроби n n n Определение 2. Рациональная дробь называется простейшей, если ее знаменатель является степенью неприводимого над полем Р многочлена p(x) (т. е. h(x)= p(x)k, где k 1) и degf(x)<degp(x). Понятно, что простейшая рациональная дробь является правильной. Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших.

§ 6. Рациональные дроби n n Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. ◘ Пусть – правильная дробь. Рассмотрим сначала случай, когда , где НОД(s(x), t(x))=1. По теореме о линейном представлении НОД многочленов существуют такие многочлены , что справедливо равенство. Отсюда, умножая это равенство на f(x), получаем равенство. (1) Поделив с остатком многочлен на t(x), получим degu(x)< degt(x). (2)

§ 6. Рациональные дроби n Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. . (1) (2) degu(x)< degt(x). n n Тогда равенство (1) можно записать в виде , где. (3) Так как согласно (2) и по условию , то из (3) и, следовательно, degv(x)< degs(x). (4) Таким образом, в силу (2), (3) и (4) имеем , n , где , т. е. дробь при условии, что НОД(s(x), t(x))=1 разложима в сумму правильных дробей.

§ 6. Рациональные дроби n n n Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. Каждое из полученных слагаемых тоже можно разложить в сумму правильных дробей, если их знаменатели разлагаются в произведение взаимно простых многочленов. Итак, если – разложение многочлена в произведение неприводимых над полем Р многочленов, то индукцией доказывается, что n где при i=1, 2, …, s. Это означает, что достаточно научиться разлагать в сумму простейших правильную дробь вида n где p(x) – неприводимый многочлен кольца Р[x]. n

§ 6. Рациональные дроби n n Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. Разделим многочлен u(x) на p(x)k-1 , остаток – на p(x)k-2 и т. д. Запишем соответствующие равенства: n n ……………………………… n Поскольку n Аналогично проверяется, что при i=1, 2, …, s. , то

§ 6. Рациональные дроби n Т е о р е м а 2. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших. n ………………………………. n Складывая полученые равенства, получаем: n и, следовательно, , n где при i=1, 2, …, s. ◙ n Замечание 1. Нетрудно также доказать единственность такого представления.

§ 6. Рациональные дроби n n n Пример. Разложить рациональную дробь в сумму простейших дробей в поле R(x), если и ◘ Требуемое разложение ищем в виде. Коэффициенты A, B, C, D, E находим методом неопределенных коэффициентов. Имеем

§ 6. Рациональные дроби n n n Можно просто приравнять коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Но разумнее другая модификация метода неопределенных коэффициентов. В последнем равенстве будем придавать такие значения для x, при которых коэффициенты при некоторых из неизвестных A, B, C, D, E обращаются в нуль, и тем самым получим уравнения или системы уравнений, связывающие эти неизвестные:

§ 6. Рациональные дроби n 1) 2) n 3) x=0 x=-1 n n n ; ; . Отсюда, учитывая, что A=3 и B=1, получаем систему , (5) из которой находим D=1; 4). Присоединяя первое из уравнений системы (5) –C+E=-1, находим C=-2 и E=-3.

§ 6. Рациональные дроби n n n A=3 , B=1, C=-2 , D=1 и E=-3. Окончательно имеем Замечание 2. Как известно, теорема 2 широко используется в курсе математического анализа при интегрировании.