Алексей Кислов НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ Со времени Аристотеля

Алексей Кислов НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ

Со времени Аристотеля логике «не приходилось делать ни шага назад, если не считать улучшением устранение некоторых ненужных тонкостей и более ясное изложение, относящееся скорее к изящности, нежели к достоверности, науки. Примечательно в ней также и то, что она до сих пор не могла сделать шага вперед и, судя по всему, она кажется наукой вполне законченной и завершенной» И. Кант

Основные периоды развития логики (три «золотых века» логики) Традиционная формальная логика I. Античная логика II. (V – III вв. до н. э. , Аристотель «Органон» , стоики) II. Схоластическая логика (XII – XIV вв. , эгзегеза, схоластика, Schullogik) III. Современная логика (вторая половина XIX в. – начало XXI в. ) § математизация (формализация) логики: Буль, Фреге, Уайтхед-Рассел, Гильберт; § деуниверсализация классической логики. Вригт Г. Х. фон. Логика и философия в ХХ веке // Вопросы философии, 1992, № 8, с. 80– 91.

деуниверсализация Неформальная логика Неклассические логики отказ от формализации формализация Системы Традиционная логика классической логики: пропозициональная, предикатов универсализация

Многообразие логического

Логические системы Уровни: пропозициональная логика, логика предикатов первого порядка, логики предикатов высших порядков Пролифирация логических систем: Неклассические логики Логики Интенсиональные модифицируемых логики рассуждений

«Все классические логики классичны одинаково, каждая неклассическая логика неклассична по-своему»

Две модели: Ослабление классической логики Логический плюрализм КЛ КЛ Да Коста Н. , Френч С. Непротиворечивость, всеведение и истина (или попытка сконструировать схему для рассуждений, скорее подходящих для простых смертных, чем для ангелов) // Философские науки, 1991, № 8. С. 51– 68. http: //pluralism. pitas. com http: //www. uni-log. org

Хронология: с 1907 - идея интуиционистской математики Л. Э. Я. Брауэра с 1910 - «Воображаемая логика» Н. А. Васильева с 1920 - многозначные логики Я. Лукасевича и Э. Поста 1920 - статья И. Е. Орлова по релевантной логике 1925 – логико-конструктивистская статья А. Н. Колмогорова с 1930 - аксиоматизация интуиционистской логики А. Гейтингом 1930 -1960 - бурное развитие интуиционистской логики, а также «философских» (модальных и интенсиональных) логик 1968 – результат В. А. Янкова (семейство суперинтуиционистских логик = семейство всех расширений модальной логики S 4, представляет собой континуум) 1971 – теорема А. В. Кузнецова о континуальности всякого интервала между интуиционистской логикой и её собственным расширением

Литература: 1. Логический подход к искусственному интеллекту: от классической логики к логическому программированию. М. , 1990. 2. Priest G. An Introduction to Non-Classical Logic. Cambridge University Press, 2008. § § http: //pluralism. pitas. com http: //www. uni-log. org

Классическая логика высказываний (пропозициональная логика) Синтаксис Алфавит: Базовое множество нелогических символов - Ф 0 задаётся бесконечным списком пропозициональных переменных: p, q, r, s, … p 1, q 1, … p 2, q 2, … Логические символы представлены пропозициональными связками: , , , и др. Техническими символами являются: ), (.

Формулы логики высказываний Имеется только один тип правильно построенных значимых выражений – формулы. Множество формул – Ф задаётся следующим образом: 1. Ф 0 Ф (задано множество атомарных формул) 2. Если А Ф и В Ф, то А Ф, (А В) Ф и т. д. (задано множество молекулярных формул) 3. Ничто другое не является формулой. Более компактно – в нотации БНФ: Атомарные формулы: p Ф 0 Формулы: А Ф А: : = р | А В

Семантика классической логики высказываний Таблицы истинности: Значение пропозициональным связкам задают посредством сопоставления с определёнными истинностно-истинностными функциями. Для классической логики высказываний это булевы функции вида f: {и, л}n {и, л}. А А А В А В и л и и л л и л и и л л и

В общем случае число булевых функций бесконечно, хотя для каждого n число n-местных истинностноn истинностных функций конечно и равно 22 Две нульместные булевы функции вида f: {и, л}0 {и, л}. T и <> л Четыре унарные булевы функции вида f: {и, л}1 {и, л}. р T р р и и и л л л и л

16 бинарных булевых функции вида f: {и, л}2 {и, л}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p q и и и и и л л л л и л и и и и л л л л л и и и л л л л и л и л Сколько трёхместных булевых функции вида f: {и, л}3 {и, л}?

16 бинарных булевых функции вида f: {и, л}2 {и, л}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 q 3 р 5 p q T р q и и и и и л л л л и л и и и и л л л л л и и и л л л л и л и л 256 трёхместных булевых функции вида f: {и, л}3 {и, л}.

1. Классическая логика высказываний - Бет Э. Метод семантических таблиц // Математическая теория логического вывода. М. , 1967. С. 191– 199. - Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. М. , 1967. С. 9– 76. - Антонова О. А. Табличные методы в логике. СПб. , 2003. - Долгоруков В. В. Табличные методы для классической логики высказываний и классической логики предикатов. Екатеринбург, 2008. (http: //www. hse. ru/org/persons/14260246)

Неуниверсальность принципов классической логики (с использованием концептуальной схемы семантики возможных миров) A B, B C, A C, C A ? ? ?

Неуниверсальность принципов классической логики (с использованием концептуальной схемы семантики возможных миров) A B, B C, A C, C A A B C ТA B, ТB C, ТA C, ТC A, FA B C

A B, B C, A C, C A A B C sn 1 2 3 4 5 6 7 8 A и и л л B и и л л C и л и л sn 1 A и B и C и 2 и и л 3 4 5 6 7 8 и и л л л и и л л и л и л

Введение в семантику возможных миров Классическое описание состояния – множество, которое в качестве элементов содержит элементарные формулы языка или их отрицания и удовлетворяет условиям: -непротиворечивости (никакая элементарная формула не входит в него вместе со своим отрицанием) - полноты (для любой элементарной формулы верно, что она сама или же её отрицание содержатся в нём).

Для языка логики высказываний понятие классического описания состояния конкретизируется следующим образом: оно представляет собой множество Фкос {p, p, q, q r, s, s, …}, которое обладает двумя свойствами: 1) не существует пропозициональной переменной p такой, что p Фкос и p Фкос; 2) для всякой пропозициональной переменной p, p Фкос или p Фкос. Если n – количество элементов Фкос, то количество различных классических описаний состояний, естественно – 2 n.

В языке классической логики высказываний максимальным непротиворечивым называют множество формул ФL, удовлетворяющее следующим условиям: 1) не существует формулы А такой, что А ФL и А ФL; 2) для всякой формулы А верно, что А ФL или А ФL; 3) Все тождественно-истинные формулы содержатся в ФL; 4) ФL замкнуто относительно правила modus ponens, т. е. если A B ФL и А ФL, то В ФL. Свойства ФL: - А ФL; - А В Ф L А Ф L и В Ф L; - А В ФL А ФL или В ФL.