Алексей Кислов МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА Модальными называют высказывания содержащие

Алексей Кислов МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА Модальными называют высказывания, содержащие дополнительную информацию оценочного характера относительно - de dicto (внешние модальности): ситуаций или взаимосвязей между ними; - de re (внутренние модальности): присущности признаков предметам (характера предикации).

Квалификация модальностей: 1. алетические модальности дают оценку с точки зрения некоторого множества (детерминирующих) законов – физических, биологических, математических, логических и т. п. : «необходимо» , «возможно» , «невозможно» , «случайно» ; 2. эпистемические модальности дают оценку с точки зрения некоторой познавательной системы – научной теории (интерсубъективного знания) ( «доказано» , «опровергнуто» , «неразрешимо» ), субъективного знания ( «знает» , «полагает» , «сомневается» , «уверен» , «убеждён» , «верит» ), 3. деонтические модальности дают оценку с точки зрения некоторого кодекса норм – правовых или морально-этических, правил игры и пр. : «обязательно» , «запрещено» , «разрешено» ; 4. аксиологические модальности дают оценку с точки зрения некоторой системы ценностей – общей ( «хорошо» , плохо» ), этическое ( «добро» , «зло» ), прагматической ( «благо» , «худо» ), эстетической ( «прекрасно» , «безобразно» );

Хронология: с 1907 - идея интуиционистской математики Л. Э. Я. Брауэра с 1910 - «Воображаемая логика» Н. А. Васильева 1910 -1920 – теория строгой импликации К. И. Льюиса с 1920 - многозначные логики Я. Лукасевича и Э. Поста 1920 - статья И. Е. Орлова по релевантной логике 1925 – логико-конструктивистская статья А. Н. Колмогорова с 1930 - аксиоматизация интуиционистской логики А. Гейтингом 1930 -1960 - бурное развитие интуиционистской логики, а также «философских» (модальных и интенсиональных) логик 1968 – результат В. А. Янкова (семейство суперинтуиционистских логик = семейство всех расширений модальной логики S 4, представляет собой континуум) 1971 – теорема А. В. Кузнецова о континуальности всякого интервала между интуиционистской логикой и её собственным расширением

p p Np Mp 1 0 1 1 ½ ½ 0 1 0 Ł3: 1 0 0 - «необходимость есть невозможность отрицания» Np = M p; - «возможность – отсутствие необходимости отрицания» Mp = N p; - «необходимость влечёт действительность, но не наоборот» Ł3 Np p и Ł3: Np p; - «действительность влечёт возможность, но не наоборот Ł3 p Mp и Ł3: p Mp; - «необходимость влечёт возможность, но не наоборот» Ł3 Np Mp и Ł3: Np Mp; -высказывания о необходимости или о возможности могут быть ложными (не являются логическими законами) Ł3 Np и Ł3 Мp.

Однако: Ł3 p Np, но Ł3: p Np и Ł3 p Np; а также (что более концептуально): Ł3: А В, NA NB Ł3: А В, MA MB. Модальные контексты имеют интенсиональную природу, когда стандартный принцип взаимозаменимости не действует: В (А В и К(А) К(А/В)).

Хронология: с 1907 - идея интуиционистской математики Л. Э. Я. Брауэра с 1910 - «Воображаемая логика» Н. А. Васильева 1910 -1920 – теория строгой импликации К. И. Льюиса с 1920 - многозначные логики Я. Лукасевича и Э. Поста 1920 - статья И. Е. Орлова по релевантной логике 1925 – логико-конструктивистская статья А. Н. Колмогорова с 1930 - аксиоматизация интуиционистской логики А. Гейтингом 1930 -1960 - бурное развитие интуиционистской логики, а также «философских» (модальных и интенсиональных) логик 1968 – результат В. А. Янкова (семейство суперинтуиционистских логик = семейство всех расширений модальной логики S 4, представляет собой континуум) 1971 – теорема А. В. Кузнецова о континуальности всякого интервала между интуиционистской логикой и её собственным расширением

Парадокс материальной импликации: (1) истинное высказывание имплицируется любым высказыванием; (2) ложное высказывание имплицирует любое высказывание. Классическое логическое следование подобными свойствами не обладает, т. к. в общем случае, утверждения (1’) истинное высказывание логически следует из любого высказывания; (2’) из ложного высказывания логически следует любое высказывание, неверны. Отношение логического следования в классической логике обладает иными свойствами: (I) логически истинное высказывание логически следует из любого высказывания; (II) из логически ложного высказывания логически следует любое высказывание. PL 2 = А (В А) – «закон утверждения консеквента» (из-за 1’); PL 2 = А (А В) – «закон отрицания антецедента» (из-за 2’).

Подход К. Льюиса Льюис предпринял попытку создания логической теории, которая в объектном языке вместо материальной импликации содержала бы неклассическую (интенсиональную) бинарную связку – аналог метаязыкового отношения логического следования в классической логике – строгую импликацию « » . Вместо «Неверно, чтобы имело место А и не имело место В» : А В =Df (А В), «Невозможно, чтобы имело место А и не имело место В» А В =Df (А В), где – модальный оператор «возможно» .

S 1º-5º: Синтаксис: Атомарные формулы: p Ф 0 Формулы: А Ф Система Sº 1: А: : = р | А | А В Аксиомы: Правила вывода: A 1. 1. (p q) (q p), R 1. A(p) A(p/B), A 1. 2. (p q) р, R 2. A, B A B, A 1. 3. p (р p), R 3. A, A B B, A 1. 4. ((p q) r) (p (q r)), если А В =Df (A B) (B A), то A 1. 5. ((p q) (q r)) (p r), R 4. A B, СА СB, A 1. 6. (p (p q)) q. где СА – формула, содержащая подформулу А, а СВ – замена произвольного числа вхождений А в СА на формулу В.

Система Sº 2 = Sº 1 + A 2, где A 2. (p q) ( p q). Система Sº 3 = Sº 1 + A 3, где A 3. (p q) ( p q). Система Sº 4 = Sº 1 + A 4. 1 или Sº 4 = Sº 1 + A 4. 2 , где A 4. 1. p p, если А =Df A, то A 4. 2. p p. Система Sº 5 = Sº 1 + A 5, где A 5. p p.

Стандартно: A В =Df (А В), Если же А: : = р | А В| А В, то А =Df A А, А =Df (A А). Напомним, что для Ł3 Ł3: NА =Df (A А); Ł3: МА =Df A А.

Нормальные модальные исчисления (Подход К. Гёделя) Синтаксис: А: : = р | А | А В (остальные связки – через определения, а А =Df А Семантика (возможных миров): Модельной структурой называется кортеж М = , где -W и s W, -R W W, -V(p) 2 W.

- Формула А истинна в М, если и только если А истинна в мире s (действительном мире данной структуры): M, s A. M, s p s V(p), … M, s A t (s. Rt M, t A), M, s A t (s. Rt M, t A). - Моделью формулы А называется любая М, в которой M, s A. -Из множества формул Г логически следует формула В, если и только если М ( А (А Г M, s A) M, s В). -Формула А общезначима, т. е. A тогда и только тогда, когда М (M, s A).

Класс общезначимых формул нормальных модальных логик аксиоматизируем: Аксиомы: Схемы аксиом PL 2, Правила вывода: МР: A, A B К. (А В) ( А В). B Пр. Гёделя: А А Имеет место метатеорема дедукции: Г, A B Г A B

Система T (Р. Фейс, Г. Х. фон Вригт): Аксиомы: Схемы аксиом PL 2, К. (А В) ( А В), Т. А А, или Т’. А А. Здесь R из Т-структуры М = рефлексивно: s (s. Rs). Схемы теорем: Т 1. (А В) ( А В), Т 2. (А В) ( А В), Т 3. ( А В) (А В), Т 4. (А В) ( А В), Т 5. (А В) ( А В), Т 6. ( А В) (А В), Т 7. (А В) ( А В).

Система К 4: Аксиомы: Схемы аксиом PL 2, К. (А В) ( А В), А 4. А А. Здесь R из К 4 -структуры М = транзитивно: s t r ((s. Rt t. Rr) s. Rr).

Система В (исчисление Брауэра): Аксиомы: Т + В, где В. А А. Здесь R из В-структуры М = рефлексивно и симметрично: s t (s. Rt t. Rs). Схемы теорем: ТВ 1. А А, ТВ 2. А А, но «обратная» формула А А не является теоремой ни в одной нормальной логике алетических модальностей.

Система S 4 (льюисовская система): Аксиомы: Т + А 4. Здесь R из S 4 -структуры М = рефлексивно и транзитивно. Схемы теорем: ТS 41. А А. В силу Т и Т’ имеют место импликации обратные А 4 и ТS 41: ТS 42. А А, ТS 43. А А. В силу этого: ТS 44. … А А, ТS 45. … А А.

Система S 5 (льюисовская система): Аксиомы: Т + В + А 4, или Т + А 5, где А 5. А А. Здесь R из S 5 -структуры М = рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. отношение эквивалентности. Схемы теорем: ТS 51. А А. В S 5 в формулах, которые начинаются с модальной приставки, состоящей из символов и , существенной оказывается последняя модальность приставки ( – произвольная конечная последовательность модальных операторов): ТS 52. А А, ТS 53. А А.

Сравнение систем S 4 и S 5: Синтаксическое сравнение: В S 4 и S 5 возможна редукция сложных (составных) модальностей к более простым: Пусть – произвольная конечная последовательность символов , и , тогда -в S 5: А : : = А| А| А| А (шесть типов модальнопредворяемых формул); -в S 4: А : : = А| А| А| А| А| А| А (четырнадцать типов модальнопредворяемых формул).

Сравнение систем S 4 и S 5: Семантическое сравнение: В S 4 все высказывания, истинно необходимые ( А) или истинно невозможные ( А) в некотором возможном мире, остаются таковыми в любом альтернативном мире, достижимом из него. Другие высказывания (т. е. вида – A, А), будучи истинными в некотором возможном мире, могут стать ложными в каком-нибудь альтернативном мире, достижимом из него. Поэтому логику S 4 считают системой онтологических (физических) алетических модальностей.

Сравнение систем S 4 и S 5: Семантическое сравнение: В S 5 все истинные модальные высказывания (т. е. вида – А, А, А) сохраняют свой модальный статус при переходе из данного возможного мира в альтернативный мир, достижимый из него. Более того, для получения семантики S 5 можно воспользоваться более сильным ограничением: вместо отношения эквивалентности использовать отношение универсальности: s t (s. Rt), т. е. R = W W. Значит семантика S 5 может быть сформулирована вообще без использования отношения достижимости: необходимость – истинность во всех мирах из М, возможность – истинность хотя бы в одном возможном мире из М. Поэтому логику S 5 считают системой логических алетических модальностей.

Таблица условий, налагаемых на R: рефлексивность s (s. Rs) А А симметричность s t (s. Rt t. Rs) А А транзитивность s t r ((s. Rt t. Rr) s. Rr) А А сериальность s t (s. Rt) А А евклидовость s t r ((s. Rt s. Rr) t. Rr) А А плотность s t(s. Rt r (s. Rr r. Rt)) А А

Докажем общезначимость K (без ограничений на R): (A B) ( A B), т. из (A B), A выведем B 1. t(s. Rt (M, t = A M, t = B)) 2. t(s. Rt M, t = A) 3. s. Rt 4. s. Rt M, t = A 5. M, t = A 6. s. Rt (M, t = A M, t = B) 7. M, t = A M, t = B 8. M, t = B 9. из s. Rt выведено M, t = B 10. s. Rt M, t = B 11. t(s. Rt M, t = В) пос. – сем. условие для M, s = (A B) пос. – сем. условие для M, s = A допущение из 2 по у из 3, 4 по MP из 1 по у из 3, 6 по MP из 5, 7 по MP в силу 1 – 8 из 9 по ТД из 10 по в, т. е. сем. условие для M, s = В

Обоснуем «Правило Гёделя» : если А общезначима ( s(M, s = A)), то и А – общезначима ( s(M, s = A)): 1. s(M, s = A) пос. – сем. условие 2. s. Rt допущение 3. M, t = A из 1 по у 4. из s. Rt выведено M, t = А в силу 1 – 3 5. s. Rt M, t = А из 4 по ТД 6. s. Rt M, t = А соответствует сем. условию для M, s = A 7. s(M, s = A) из 6 по в

Докажем общезначимость Т (R – рефлексивно): A A из A выведем А 1. t(s. Rt M, t = A) пос. – сем. условие для M, s = A 2. s. Rs допущение (рефлексивности) 3. s. Rs M, s = A из 1 по у 4. M, s = A из 1, 3 по MP

Контрольная работа: Т 2. (А В) ( А В), Т 3. ( А В) (А В), Т 5. (А В) ( А В), Т 7. (А В) ( А В), Т 2’. ( А В) (А В) , Т 4. (А В) ( А В), Т 6. ( А В) (А В), Т 7’. ( А В) (А В). Доказать теоремы: (1) аксиоматически, (2) семантически, (3) аналитическими таблицами А-Б-В-Г-Д-Е-Ж З-И-К-Л-М-Н-О П-Р-С-Т-У-Ф-Х Ц-Ч-Ш-Щ-Э-Ю-Я Т 2, Т 3, Т 4 Т 2’, Т 4, Т 5, Т 6, Т 7 Т 3, Т 6, Т 7’