Аксиоматический метод в Началах Евклида Аксиоматический метод

Аксиоматический метод в Началах Евклида.

Аксиоматический метод Появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия – элементарные понятия, которые нельзя определить через другие. Утверждения, принимаемые без доказательства называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения. Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём. В этом и заключается логическое строение геометрии. Аксиомы и основные понятия составляют основания планиметрии.

«Начала» Евклида. Аксиоматический метод построения геометрии впервые был использован Евклидом в его знаменитом трактате, который он назвал «Начала» явились результатом собирания и упорядочения более ранних работ; однако от этих работ они в корне отличаются систематичностью изложения. Изложение «Начал» носит строго догматический характер. Многие века преподавание геометрии велось по этому сочинению.

Оригинальные манускрипты «Начал» до нас не дошли. С 1482 года книга «Начала» выдержала более 500 изданий на всех языках мира. Первое печатное издание «Начал» в переводе Кампануса появилось в 1482 году. Оно было выпущено в свет в Венеции Ратдольтом, основавшим крупное издательство. Первое издание греческого текста «Начал» появилось в 1503 году

Ø В России было выпущено пять изданий «Начал» . Первые три из них относятся еще к 18 веку. Издание И. Сатарова было выпущено в 1739 году и Сатарова представляло собой перевод восьми книг «Начал» с латинского языка. Ø Через 30 лет был выпущен русский перевод «Начал» , сделанный Н. Кургановым с французского языка. Н. Кургановым Ø В 1784 году появился перевод П. Суворова и В. Никитина, сделанный с греческого текста под Никитина названием «Евклидовы стихии» Ø Наиболее точный перевод этой книги с греческого сделал в 1948 -1950 гг. Д. Д. Мордухай-Болтовской, добавив к ней многочисленные комментарии.

Структура «Начал» . Начала» состоят из тринадцати книг. Каждая книга начинается определением всех терминов, которые в ней в первый раз появляются; первой книге предпосланы также аксиомы и постулаты У Евклида: постулат - предложение, указывающее свойства геометрической фигуры; аксиома - предложение, описывающее свойства всякой величины. За ними следуют предложения, под которыми подразумеваются то теоремы, то задачи (конструктивные). Последний перевод текста «Начал» содержит 15 книг. Книги 14 -я и 15 -я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14 -я во 2 в. до н. э. , а 15 -я в 6 в.

Книга 1. Материал, содержащийся в 1 -й книге – фундамент, на котором строится вся геометрия! 23 определения 5 постулатов 9 аксиом. 1 -я половина 1 -й книги – учение об отрезках, углах и треугольниках; 2 -я половина – теория параллельных линий. В первой книге доказано 48 предложений. Среди них можно выделить: Поризм - следствие, т. е. теорема, непосредственно вытекающая из предыдущей; доказательство которой , как тривиальное опускается. Лемма - вспомогательное предложение, которому целесообразно дать место для доказательства теоремы. Евклид доказывает элементарные свойства треугольников, среди которых – условия равенства; описывает построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. Книга заканчивается теоремой Пифагора.

Книга 2. Основы геометрической алгебры: все величины представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. ( числа – отрезки, произведение двух чисел – площадь прямоугольника, произведение трех чисел – объем). Книга содержит 10 предложений. Некоторые из них: 4(а + b)а +b²=[(а + b) +а]². Дает развитие теореме Пифагора, ее обобщение на всякий треугольник. В каждом предложении 2 -й книги Евклид оперирует прямоугольником. Само понятие о прямоугольнике принадлежит собственно евклидовой геометрии.

Книга 3. Посвящена геометрии окружности: учение о круге и окружности, о секущих и касательных и об углах, образуемых ими, а также о степени точки относительно окружности. 1 –я часть содержит свойства хорд и касательных(30 предложений); 2 – я часть содержит учение об углах, вписанных в окружность, составленных хордой и касательной, и об отрезках хорд и секущих, пересекающихся в одной точке(7 предложений).

Книга 4. Изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее. Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой. Доказательства – в правильный 5 -к можно вписать окружность и около правильного 5 -ка можно описать окружность – выполняются средствами абсолютной геометрии. Доказательство о пересечении серединных перпендикуляров не доведено до конца.

Книги 5 и 6. В 5 -й книге разработана теория пропорций, которая прилагалась и к соизмеримым и к несоизмеримым величинам. (в понятие величины Евклид включал длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. ). В геометрической форме излагается теория рациональных и иррациональных чисел, включая и основные действия над ними. Начинается восемнадцатью определениями. В 6 -й книге теория пропорций книги 5 применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам. Первыми шестью книгами «Начал» исчерпывается планиметрия!

Книги 7, 8 и 9. Трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. Содержатся учение о НОД и НОК(7 -я книга), а также учение о непрерывных пропорциях, относимых к числам, и учение о соотношении между вторыми и третьими степенями чисел(8, 9 книги). В этих книгах представлена известная теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, доказываемая методом от противного, а также теорема о четных совершенных числах.

Книга 10. Содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Самая обширная книга во всем сочинении; содержит 115 предложений и составляет около третьей части всего сочинения. Книге предшествует обширная схолия неизвестного автора. 1 -е предложение содержит теорему, вводящую в правильно построенное учение о пределах.

Книга 11. Посвящена стереометрии (теоремы о взаимном расположении прямой и плоскости; теоремы о плоских углах многогранного угла, о параллелепипеде, о равенстве объемов призм с одинаковыми высотами и др. ). Книге предписано 28 определений. Определения недостаточно содержательны. Первые 2 определения: 1. Телом наз. то, что имеет длину, ширину и глубину. 2. Граница же тела есть поверхность.

Книги 12, 13. В книге 12 с помощью метода исчерпывания сравниваются площади криволинейных фигур с площадями многоугольников. Метод исчерпывания – метод, которым пользовались древние и из которого создались метод пределов и интегральное исчисление. Предметом книги 13 является построение правильных многогранников (тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр и додекаэдр) и утверждается, что других правильных тел не существует.

Логическое строение «Начал» Евклида. Открываются «Начала» определением основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии – постулатов и аксиом, принимаемых без доказательства и являющихся основой всякого доказательства. Чертежи и рисунки – вспомогательная роль. Всякое геометрическое предложение, как бы оно просто ни выглядело, должно быть доказано, т. е. выведено дедуктивным путем как следствие из ранее предпосланного списка аксиом и постулатов. Все они составляют аксиоматику Евклида.

Определения 1 -й книги. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Точка есть то, что не имеет частей. Линия же – длина без ширины. Концы же линии – точки. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы же поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по прямой. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол наз. прямым. Когда же прямая, восставленная на прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая наз. Перпендикуляром к той, на которой она восставлена. Тупой угол – больший прямого. Острый же – меньший прямого.

13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Граница есть то, что является оконечностью чего-нибудь. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или какихнибудь границ. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии(кот. наз. окружностью), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой. Центром же круга является эта точка. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам. Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью окружности. Центр же полукруга – то же самое, что и круга. Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трехсторонние – между тремя, четырехсторонние же – четырьмя, многосторонние же которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.

20. 21. 22. 23. Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две стороны, равносторонний же – имеющий три неравные стороны. Кроме того, из трехсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольные же – имеющий тупой угол, а остроугольный – имеющий три острых угла. Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, равносторонний же – прямоугольная, но не равносторонняя, - равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид(параллелограмм) – имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной. Остальные же четырехугольники будем называть трапециями. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются. В определениях используются понятия границы, длины, ширины…, которые сами нуждаются в определениях.

Постулаты – требования, которые читатель должен принять, приступая к изучению дисциплины. Допустим: 1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию. 2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой. 3. И что от всякого центра и всяким раствором может быть описан круг. 4. И что все прямые углы равны между собой. 5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы – общие достояния ума, истины, которые признаются всяким человеком, которыми человек неизбежно руководится как во всяком научном, так и в любом повседневном рассуждении. 1. Равные одному и тому же равны и между собой. 2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. 3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки равны. 4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны. 5. И удвоенные одного и того же равны между собой. 6. И половины одного и того же равны между собой. 7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой. 8. И целое больше части. 9. И две прямые не содержат пространства.

Постулаты – это те же аксиомы, но только геометрического содержания, и обслуживают только геометрию. Во времена Евклида разница между постулатами и аксиомами ощущалась значительней. С современной точки зрения существенной разницы между понятиями «постулат» и «аксиома» нет.

Вопросы для повторения. 1. Найдите соответствие. 1. Книга 2 А. Разработана теория пропорций. 2. Книга 3 Б. Посвящена стереометрии. 3. Книга 5 В. Геометрия окружности. 4. Книга 11 Г. Построение правильных многогранников. 5. Книга 13 Д. Основы геометрической алгебры. Ответы: 1 – Д; 2 – В; 3 – А; 4 - Б; 5 – Г.

2. Требования, которые читатель должен принять, приступая к изучению дисциплины – это: a) аксиомы; b) постулаты; c) теоремы; d) схолии. Ответ: постулаты.

3. В чем заключается аксиоматический метод построения теории? Ответ: аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Используемая литература. 1. 2. Александров А. Д. Основания геометрии. Учебное пособие для вузов. - М. : Наука, 1987. - 288 с. Каган В. Ф. Основания геометрии, Госуд. Изд-во технико-теорет. литературы. М. , 1949.