Аксиома Лобачевского: Через точку, не лежащую на прямой, в плоскости ими определяемой, можно провести не менее двух прямых, не пересекающих данную прямую. Теорема: Через точку, не лежащую на прямой, в плоскости ими определяемой, можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую. Дано: α – плоскость, а – прямая / а ϵ α, А – точка / А ϵ α, А а Доказать: b – прямая / b ϵ α, А ϵ b, b не пересекает а. Доказательство: Опустим перпендикуляр из точки А на прямую ВВ 1. В пучке прямых, проходящих через точку А существуют две пограничные прямые, разделяющие все прямые пучка на два класса: на класс прямых, пересекающих прямую а, и класс прямых, не пересекающих а. Две граничные прямые СС 1 и DD 1 называют параллельными прямой ВВ 1 в точке А, причем прямая СС 1 параллельна прямой ВВ 1 в направлении ВВ 1, а прямая DD 1 параллельна прямой ВВ 1 в направлении В 1 В.
Определение: Прямая СС 1 называется параллельной прямой ВВ 1 в точке А и в направлении ВВ 1, если 1) прямая СС 1 не пересекает прямой ВВ 1, 2) всякий луч походящий внутри угла С 1 АА 1 пересекает прямую ВВ 1. Перпендикуляр АА 1 называется стрелкой. Угол, который образует стрелка с параллельной прямой называется углом параллельности. Определение: Все прямые пучка, не пересекающие прямую ВВ 1 и лежащие внутри вертикальных углов, не содержащих стрелку, называются расходящимися с ВВ 1 или сверхпараллельными с ВВ 1. Определение: Все прямые пучка, не пересекающие прямую ВВ 1 и лежащие внутри вертикальных углов содержащих стрелку, называются пересекающими прямую ВВ 1 или сходящимися с ВВ 1.
Свойства параллельных прямых: 1. Если прямая а параллельна прямой b в точке А, то она параллельна прямой в и в любой другой своей точке. 2. Если а ׀׀ b, то и обратно b ׀׀ а. 3. Если а ׀׀ b и с ׀׀ b, то а ׀׀ с. 4. Если прямая а лежит между двумя прямыми в и с параллельными в некотором направлении, не пересекая их, то а параллельна обеим этим прямым в том же направлении. Свойства сверхпараллельных прямых: 1. Две прямые обладающие общим перпендикуляром являются сверхпараллельными. 2. Если две прямые в пересечении с третьей образуют равные накрест лежащие (или соответственные) углы, то эти прямые будут сверхпараллельны.
Теоремы справедливые на плоскости Лобачевского: 1. Сумма углов треугольника меньше 180º. Действительно, в абсолютной геометрии сумма углов треугольника не больше 180º. Допущение, что сумма углов треугольника равна 180º, влечет за собой постулат Евклида. 2. Сумма углов треугольника есть величина переменная, которая зависит от формы и размера треугольника. Разность 2 d - σΔ называется дефектом треугольника (σΔ - сумма углов треугольника). 3. Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны (четвертый признак равенства треугольников ). 4. Существуют треугольники, вокруг которых нельзя провести окружность. 5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр меньше 90º.
Докажем теорему 3: Если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны (четвертый признак равенства треугольников ). Дано: ∆ABC, ∆A’B’C’, ∠A=∠A’ , ∠B=∠B’, ∠C=∠C’ Доказать: ∆ABC= ∆A’B’C’ Доказательство: Предположим противное, пусть A’B’>AB, A’C’>AC 1. A’B’’= AB, B’’ϵ A’B’, A’C’’ = AC, C’’ϵ A’C’. 2. ∆ABC = ∆A’B’’C’’, следовательно ∠A=∠A’=α, ∠B=∠B’’=β, ∠C=∠C’’=γ 3. В четырехугольнике B’B’’C’’C’ ∠B’B’’C’’ = 180° - β, ∠B’’C’’C’ = 180° - γ 4. ∠B’+∠B’B’’C’’+∠B’’C’’C’+∠C’ = β+180°-β+180 -γ+γ=4 d, следовательно получили противоречие с нашим предположением, следовательно треугольники равны.
Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского. Дано: α – евклидова плоскость, ω – окружность / ω ϵ α Доказать, что система аксиом плоскости Лобачевского не противоречива. Доказательство: Назовем Л-точками внутренние точки окружности, Л-прямыми – хорды окружности ω (без их концов). Справедливость в такой модели аксиом принадлежности и порядка не требует особого доказательства, так как они справедливы в евклидовой геометрии. - Расстояние между точками А и В, где АВ ∩ ω = N, М, k – положительное действительное число.
Пусть АВ – произвольная прямая, а Р – точка, не лежащая на ней. m и n – прямые / m ∩ n = P, m и n не имеют общих точек с прямой АВ. Очевидно, кроме этих прямых, любая прямая, проходящая внутри заштрихованных вертикальных углов (t) не пересекает прямую АВ, а любая прямая, проходящая внутри не заштрихованных углов (k) не пересекает прямую АВ. Мы показали, что аксиома Лобачевского, на данной модели выполняется. Таким образом, если системы аксиом плоскости Евклида непротиворечива, то и системы аксиом плоскости также не противоречива.
Двупрямоугольник, у которого боковые стороны равны называют четырехугольником Саккери. Теорема: Углы при верхнем основании в четырехугольнике Саккери равны и острые.
Скачать презентацию Аксиома Лобачевского Через точку не лежащую на прямой
плоскость лобачевского.ppt