Абстрактная алгебра и теория кодирования 1 Введение

Абстрактная алгебра и теория кодирования

1. Введение в абстрактную алгебру 2. Основы алгебраической системы 3. Теория кодирования

1. Введение в абстрактную алгебру Абстрактная алгебра это раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых можно сочетать по различным правилам, получая в результате новые элементы, вне зависимости от конкретной природы самих элементов.

Абстрактная алгебра оказалась полезной не только в математике. Ее средства и методы используются всюду, где возникает потребность в организации больших объемов данных. Абстрактная алгебра нашла применение при решении широкого круга проблем – от проектирования электронных схем до составления суточных графиков работы нефтеперегонных заводов, позволяющих максимизировать прибыль.

Это математика нового типа, необходима для вычислительных машин. Ранее большинство инженерских задач сводилось к решению линейных уравнений. Теперь исследования перешли от решения частных задач к общим. Поэтому при анализе работы вычислительных машин гораздо проще их описать с помощью общих признаков.

2. Основы алгебраической системы • Группы • Кольца • Поля • Векторы и матрицы.

Группы Группой G называется множество, или набор, элементов a, b, . . . (относительно их природы не делается никаких предположений), в котором задана операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов a, b из G третий элемент, ab, называемый их произведением. Правила для групп: • (ab) c = a (bc), т. е. произведение элемента ab и еще одного элемента c из G равно произведению элементов a и bc • Для любой пары элементов a, b из G существуют элементы x и y из G, такие, что xa = b, ay = b

Следует заметить, что условие II означает возможность деления в группе. Действительно, в силу условий I и II в G всегда существует такой элемент 1 (называемый единицей или единичным элементом), что 1 a = a 1 = a для всех элементов a группы G, и для каждого элемента a из G в G существует элемент 1/a, называемый его обратным, такой, что a (1/a) = (1/a) a = 1. Тогда мы можем записать x = b (1/a), y = (1/a) b.

Различать элементы x и y необходимо, поскольку не предполагалось, что ab = ba. Следует ясно сознавать, что слова «умножение» и «деление» используются в теории групп просто для операции, ставящей в соответствие двум элементам a и b исходного множества третий элемент той же группы, для которого с тем же успехом можно было бы использовать символы a * b, a + b или a Щ b.

Пример группы: множество всех положительных и отрицательных целых чисел, симметрическая группа. Одна из основных задач теории групп – более явное описание структуры некоторых классов групп. Теория групп находит применение почти во всех разделах математики, играя роль связующего звена между многими, на первый взгляд совсем разными, ее областями.

Кольца Множество R элементов a, b, c, . . . называется кольцом, если каждой паре элементов a, b из R поставлен в соответствие некоторый элемент из R, называемый их суммой и обозначаемый a + b, и еще один элемент из R, называемый их произведением и обозначаемый ab.

Должны выполнятся условия: 1) a + (b + c) = (a + b) + c; 2) a + b = b + a; 3) для любых двух элементов a, b из R существует элемент x из R, такой, что a + x = b; 4) (ab) c = a (bc); 5) a (b + c) = ab + ac, (b + c) a = ba + ca.

Выполнение условий 1 -3 означает, что R – абелева группа по сложению. Единственный элемент x, такой, что a + x = a (существование которого может быть доказано), называется нулевым элементом кольца R и обозначается 0. Однако есть кольца, в которых нулем может оказаться произведение ненулевых элементов, т. е. в таких кольцах существуют элементы a, b, ни один из которых не равен 0, но для которых ab = 0. Такие кольца называются кольцами с делителями нуля.

Многие тождества, известные из обычной алгебры, выполняются и в произвольных кольцах: все обычные тождества, содержащие только сложение и вычитание, а также тождества, не использующие коммутативность умножения или возможность деления, сохраняют силу и в произвольном кольце R. Например, тождество a [(b + c) + (e + f)] = (ae + ac) + (ab + af) остается верным в любом кольце R.

Два многочлена являются одним и тем же элементом кольца в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной x равны. Тогда сумма определяется так

Произведение собственно: где cj = a 0 bj + a 1 bj – 1 +. . . + aj – 1 b 1 + ajb 0 При проектировании электронных схем очень полезными оказываются кольца R, каждый элемент r которых удовлетворяет соотношению r 2 = r.

Вычисления в рамках таких «булевых колец» в точности соответствуют некоторым правилам проектирования схем, так что задача построения схемы, удовлетворяющей заданным условиям, сводится к более простой задаче упрощения соответствующего выражения в булевом кольце.

Поля Полем F называется коммутативное кольцо, в котором ненулевые элементы образуют абелеву группу по умножению. Это означает, что над элементами поля все четыре рациональные операции (сложение, вычитание, умножение и деление на ненулевые элементы) могут проводиться так же, как над обычными числами, и что для полей остаются в силе все правила элементарной алгебры.

Пример поля: множество всех действительных чисел с обычными операциями сложения, вычитания, умножения и деления. Заметим, что для любого поля F всегда существует поле F 0, которое содержит все корни всех уравнений вида (*) с коэффициентами из F при всех возможных n. Если F – поле действительных или комплексных чисел, то F 0 – поле комплексных чисел (наш второй пример).

Эту теорему часто называют основной теоремой алгебры. Она имеет иную, эквивалентную, формулировку: любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле комплексных чисел.

Векторы и матрицы. Знакомые всем физические векторы, используемые для представления объектов, характеризуемых величиной и направлением (наглядно их изображают символами со стрелкой), можно рассматривать и на более абстрактном уровне. Такой подход позволяет понять более сложные операции над векторами, распространить векторную алгебру на случай nмерного пространства и расширить область применения понятия «вектор» .

Пусть F – поле. Строка (a 1, a 2, . . . , an) или столбец из n элементов называется n-мерным вектором-строкой или n-мерным векторомстолбцом v. Два n-мерных вектора-строки v, vў равны в том и только в том случае, если равны все их соответствующие элементы.

Векторы можно складывать и вычитать по правилу (a 1, . . . , an) ± (b 1, . . . , bn) = (a 1 ± b 1, . . . , an ± bn). Нетрудно проверить, что при таких определениях векторы образуют абелеву группу. Важное значение имеет еще одна операция над векторами: если v = (a 1, . . . , an) – вектор, а a – элемент из F, то по определению av = (aa 1, aa 2, . . . , aan). Векторы допускают и более абстрактное определение, которое, как можно показать, эквивалентно приведенному выше и существенно увеличивает применимость векторов в различных областях науки.

Можно определить произведение двух векторов-строк, но гораздо полезнее следующее определение произведения nмерного вектора-строки на n-мерный векторстолбец:

Векторы и матрицы находят все более широкое применение и вне математики. Они были изобретены в середине 19 в. в связи с изучением n-мерной геометрии. С тех пор их стали использовать везде, где приходится иметь дело с обработкой больших массивов данных. С использованием матриц решаются многие технические задачи, связанные с расчетом напряжений, деформаций, колебаний. Решение системы линейных уравнений с несколькими переменными по существу является задачей матричного исчисления.

Матрицы используются и при решении систем дифференциальных уравнений, которые возникают в большинстве наук: такую систему можно заменить одним матричным дифференциальным уравнением.

Одно из главных применений матриц в общественных науках связано с построением моделей различных ситуаций. Например, экономическую ситуацию в стране часто моделируют с помощью матрицы с примерно 100 строками и столбцами. На основании операций над такой матрицей экономисты создают свои прогнозы.

3. Кодирование информации При передачи информации, иногда необходимо и полезно представить поле при помощи другого алфавита, кодировать. Характеристикой кода является значимость и его состояние. Значимость кода n, это число символов в кодовом слова, а число основания n, число различных символов кода.

Равномерным кодом является код, для которого значимость везде одинаковая. При передачи информации необходимо: 1. Код и алфавит должны быть различными и однозначно связанны в соответствие сообщения. 2. Применяя кода максимально экономично, должен затрагивать минимальное время. 3. Код который удовлетворяет второе условие, называется оптимальным.