Скачать презентацию А Расстояние от точки до плоскости плоскости Скачать презентацию А Расстояние от точки до плоскости плоскости

Расстояние от точки до пплоскости Гремяченская.ppt

  • Количество слайдов: 38

А Расстояние от точки до плоскости – плоскости длина перпендикуляра AH. Н Искомое расстояние А Расстояние от точки до плоскости – плоскости длина перпендикуляра AH. Н Искомое расстояние от точки А до плоскости равно расстоянию от параллельной прямой до плоскости. На практике порой опустить перпендикуляр из заданной точки на плоскость не просто. . . B А Н a Можно построить прямую, параллельную плоскости. И опустить перпендикуляр из любой точки прямой на плоскость. BN = AH N Можно построить вторую плоскость , параллельную данной плоскости. И опустить перпендикуляр из любой точки плоскости на плоскость . BN = AH А Н Искомое расстояние от точки А до плоскости равно расстоянию между параллельными плоскостями. B N

В задаче нам поможет найти расстояние от точки до плоскости такой алгоритм. 1). Через В задаче нам поможет найти расстояние от точки до плоскости такой алгоритм. 1). Через точку А строим плоскость II B А 2). Строим плоскость , перпендикулярную параллельным плоскостям и . 3). На линии пересечения плоскостей выбираем точку В. Н N 4). Опускаем перпендикуляр из точки В. 5). Отрезок BN – расстояние между плоскостями равно расстоянию от точки А до плоскости . AH = BN.

В задаче нам поможет найти расстояние от точки до плоскости такой алгоритм. А Н В задаче нам поможет найти расстояние от точки до плоскости такой алгоритм. А Н 1). Строим плоскость , перпендикулярную плоскости . 2). Опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей AH. АР – искомое расстояние от точки А до плоскости .

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости СB 1 D 1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости Диагонали квадрата перпендикулярны D 1 С 1 А 1 D 1 B 1 – перпендикуляр к О 1 В 1 M 1 D О С В 1 А плоскости. Значит, любая плоскость, проходящая через перпендикуляр D 1 B 1, в том числе и наша плоскость CD 1 B 1, перпендикулярна плоскости С 1 А 1 А (признак перпендикулярности плоскостей). СО 1 – линия пересечения плоскостей. Рассмотрим треугольник СО 1 А, и в этом треугольнике построим высоту AM к стороне СО 1.

D 1 С 1 2 2 О 1 А 1 В 1 3 2 D 1 С 1 2 2 О 1 А 1 В 1 3 2 M D О 2 С В 1 А

Чтобы найти высоту AM, выразим два раза площадь треугольника CAO 1. D 1 С Чтобы найти высоту AM, выразим два раза площадь треугольника CAO 1. D 1 С 1 2 2 О 1 А 1 В 1 3 2 M D О 2 С В 1 А

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC 1 до плоскости AB 1 D 1. D 1 С 1 В 1 А 1 Расстояние от точки К до плоскости АВ 1 D 1 равно расстоянию между параллельными плоскостями АВ 1 D 1 и ВDС 1. К D А 1 В 1 С

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC 1 до плоскости AB 1 D 1. D 1 O 1 А 1 В 1 2 2 С 1 ? X К 3 2 D А 1 2 2 O В 1 С 1

Чтобы найти высоту O 1 X, выразим два раза площадь треугольника. D 1 O Чтобы найти высоту O 1 X, выразим два раза площадь треугольника. D 1 O 1 А 1 В 1 С 1 ? X 1 1 К 3 2 D А 2 2 O В 1 С 1

Чтобы найти высоту O 1 X, выразим два раза площадь треугольника. D 1 O Чтобы найти высоту O 1 X, выразим два раза площадь треугольника. D 1 O 1 А 1 В 1 С 1 ? X 1 1 К 3 2 D А 2 2 O В 1 С 1

 Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник АВС Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. ВС = 3. Высота призмы равна 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости АСВ 1. В 1 А 1 N ТТП С 1 п-я 4 н-я н-я тогда АС будет перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. K В BK – искомое расстояние. Обоснуем. А п-я 3 С ВK – перпендикуляр к плоскости, искомое расстояние, которое легко выразив два раза площадь треугольника ВСВ 1.

 Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник АВС Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. ВС = 3. Высота призмы равна 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости АСВ 1. В 1 А 1 N С 1 4 5 K В А 3 С ВK – перпендикуляр к плоскости, искомое расстояние, которое легко выразив два раза площадь треугольника ВСВ 1.

 Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник ABC, C = 900, BС = 4, Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник ABC, C = 900, BС = 4, AC = 6, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Найдите расстояние от точки C до плоскости BLM, где L, М – середины ребер SC и АС соответственно. S СK – искомое расстояние. Обоснуем. По условию SA АВС, тогда ML АВС. (Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна данной плоскости. 4 Плоскость BLM проходит через перпендикуляр ML к плоскости АВС, значит, эти плоскости перпендикулярны. BПризнак перпендикулярности двух плоскостей MВ – линия пересечения плоскостей. CK ML (линия пересечения плоскостей) CK ABC CK BML L A K 6 M С 4

 Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник ABC, C = 900, BС = 4, Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник ABC, C = 900, BС = 4, AC = 6, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Найдите расстояние от точки C до плоскости BLM, где L, М – середины ребер SC и АС соответственно. CK – перпендикуляр к плоскости BML, искомое расстояние, которое S легко найти, выразив два раза площадь треугольника ВСМ. 4 L B A K 6 M 3 С 5 4

 Основанием призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромб ABCD, Основанием призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромб ABCD, AB = 10, ВD = 12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани A 1 B 1 C 1 D 1 до плоскости BDC 1. СK – искомое расстояние. Обоснуем. D 1 C 1 С B 1 A 1 K 6 Плоскость BDC 1 проходит через перпендикуляр DB к плоскости АCС 1, значит, эти плоскости перпендикулярны. OC 1 – линия пересечения плоскостей. D 12 A 10 C 10 O B CK OC 1 (линия пересечения плоскостей) CK ACC 1 CK BDC 1

 Основанием призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромб ABCD, Основанием призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является ромб ABCD, AB = 10, ВD = 12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани A 1 B 1 C 1 D 1 до плоскости BDC 1. CK – перпендикуляр к плоскости BDC 1, искомое расстояние, которое легко найти, выразив два раза площадь треугольника OCC 1. D 1 C 1 С B 1 A 1 K 6 10 D C 8 A 12 O 6 10 10 B

 Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости A 1 BТ, где Т - середина отрезка AD. Опустить перпендикуляр из точки на плоскость не всегда просто. Применим другой способ для вычисления расстояния от точки А до плоскости A 1 BТ. Найдем AO, выразив два раза объем пирамиды ABTA 1 с основанием АВТ. D 1 С 1 В 1 А 1 1 O 1 2 А T 2 D С 5 2 1 1 В

T 5 2 B D 1 С 1 В 1 А 1 1 O T 5 2 B D 1 С 1 В 1 А 1 1 O 1 2 А T 2 D С 5 2 1 1 В H 2 5 2 2 2 A 1

 Найдем AO, выразив два раза объем пирамиды ABTA 1 с основанием АВТ. D Найдем AO, выразив два раза объем пирамиды ABTA 1 с основанием АВТ. D 1 С 1 В 1 А 1 1 O 1 2 А T 2 D С 5 2 1 1 В

С 2 Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является равнобедренный треугольник С 2 Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = АC = 5, BC = 6. Высота призмы равна 3. Найдите расстояние от середины ребра B 1 C 1 до N плоскости BCA 1. NK – искомое расстояние С 1 А 1 4 K 4 N 3 В 1 А 1 K 5 6 5 С 5 А 3 5 D В 3 * 2 6 : 5 D

 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона 7 основания АВ = 2, боковое ребро В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона 7 основания АВ = 2, боковое ребро SA = . Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBD. Опустить перпендикуляр из заданной точки на плоскость не просто. . . Можно построить прямую, параллельную плоскости BSD. И опустить перпендикуляр из любой точки прямой на плоскость BSD. S NR – искомое расстояние 7 2 3 R E F О N A R 6 = a 2 1 D L B C 2

 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона 7 основания АВ = 2, боковое ребро В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона 7 основания АВ = 2, боковое ребро SA = . Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBD. Чтобы найти NR рассмотрим треугольник SNL и выразим два раза его площадь. S 7 3 R E F N A 2 2 2 D L О B C 2 Можно заметить, что треугольник SNL – равносторонний. SN=NL=SL=2. И найти другой способ вычисления искомого расстояния NR.

 Высота правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 24, а сторона основания равна 12. Найдите Высота правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 24, а сторона основания равна 12. Найдите расстояние от вершины В до MK BD плоскости АСМ, где М – середина бокового ребра SB. SO II MK SO BD Через т. В проведем плоскость, перпендикулярную к плоскости АСМ. Тогда по теореме Фалеса: если SM = MB , то OK = KB. В плоскости ВSD опустим перпендикуляр из точки В. MK – средняя линия SOB. ВL – искомое расстояние. S M 24 12 В C O D 12 L 3 2 K 3 2 12 6 2 A

 ВL – искомое расстояние. Вычислим площадь треугольника МОВ. : 2 S M C ВL – искомое расстояние. Вычислим площадь треугольника МОВ. : 2 S M C O D 12 9 2 12 L 9 2 24 М L В 3 2 K 3 2 6 2 A О 12 К 6 2 В

 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см. Найдите расстояние от центра В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, p если двугранный угол при ребре основания равен . 3 ВN АС SN АС О – точка пересечения медиан. ВNS – линейный угол двугранного Применим свойство медиан: угла SАСВ (gпри ребре АС), который по условию медианы треугольника равен 600. пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины BO : ON = 2 : 1. Вся медиана BN – это 3 части. NО = : 3 = (это 1 часть) 6 3 2 3 ВО = : 3 * 2 = (это 2 части) 6 3 4 3 S A B L N ? 600 2 3 6 C O 4 3 6 3 12

 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK D 1 C 1 1). Построим сечение призмы плоскостью D 1 MK. F 2). MK, т. к. точки M и K лежат в B 1 A 1 одной плоскости. MD 1, точки 8 21 лежат в одной плоскости. K 3). Строим KF II MD 1, т. к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях. D C M 4). FD 1, т. к. точки лежат в одной 8 грани. A 12 B 5) Через точку А надо построить плоскость, перпендикулярную плоскости D 1 MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей.

-я н-я В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 -я н-я В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK D 1 6) Построим линейный угол C 1 двугранного угла A 1 MKD 1 р п(MK – ребро двугранного угла) F B 1 A 1 D 1 L является 7) D 1 L MK, N 8 п-я 21 наклонной к плоскости ABB 1. D 1 A 1 – перпендикуляр к K плоскости ABB 1 L A 1 L – проекция отрезка D 1 L на D C плоскость ABB 1. M Применим теорему о трех перпендикулярах. 8 A 12 B D 1 L MK н-я ТТП A 1 L MK п-я D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 Попробуем сделать чертеж более наглядным. Опрокинем призму на грань ABB 1 A 1

 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK C 1 1). Построим сечение призмы плоскостью D 1 MK. C 2). MK, т. к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD 1, точки лежат в одной плоскости. D 1 3). Строим KF II MD 1, т. к. эти F D 12 отрезки сечения лежат в параллельных гранях. B 1 4). FD 1, т. к. точки лежат в одной 8 K грани. B 5) Через точку А надо построить 12 A 1 21 M 8 A плоскость , перпендикулярную плоскости D 1 MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей.

 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной Плоскость линейного угла (A 1 LD 1) основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. перпендикулярна каждой грани На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки двугранного угла: А 1 до плоскости D 1 MK A 1 LD 6) Построим линейный угол 1 ABС 1, A 1 LD 1 D 1 MKD C 1 Строим перпендикуляр из точки А двугранного угла A MKD 1 1 на D 1 L в плоскости А 1 LD 1. (MK – ребро двугранного угла) C D 1 F я -я н- п-р B 1 D 12 8 K N L п-я A 1 21 B M 12 8 A D 1 L является 7) D 1 L MK, наклонной к плоскости ABB 1. D 1 A 1 – перпендикуляр к плоскости ABB 1 A 1 L – проекция отрезка D 1 L на плоскость ABB 1. Применим теорему о трех перпендикулярах. D 1 L MK н-я ТТП A 1 L MK п-я D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1

 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK Из KZM, по теореме Пифагора: KM 2 = KZ 2 + ZM 2; 8 C 1 K B 1 KM 2 = 122 + 52; C KM 2 = 169; KM = 13. L 13 12 D 1 ? 2 12 1 F D Z 5 M A 1 B 1 8 K N KZM = A 1 LM, по гипотенузе и острому углу. B KZ = A 1 L = 12, ? a L 12 A 1 Из A 1 D 1 L: 13 M 8 A 21

a =a R= R В правильной шестиугольной призме АВСDEFA 1 B 1 C 1 a =a R= R В правильной шестиугольной призме АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все A F ребра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости DEА 1. Опустить перпендикуляр из точки В… Не вижу… 3 1 ED перпендикулярен к двум Тогда возьму прямую АВ, параллельную плоскости DEA 1 пересекающимся прямым, лежащим B E АВ II DЕ, DЕ DЕA 1 АВ II DЕA 1 E B 2 в плоскости EAA , значит, ED Искомое расстояние будет равно расстоянию от любой другой точки 1 1 перпендикуляр к плоскости EAA 1 прямой АВ до плоскости DEA 1. Возьму точку А. Построю через точку А Плоскость DEА 1 проходит через D плоскость, перпендикулярную плоскости DEA 1. C перпендикуляр DE к плоскости D C Показать (3) EAAF A 1 1. Значит, плоскость DEА 1 1 перпендикулярна плоскости EAA 1. AE ED, B 1 ED EAA 1, N E AA 1 ED 1 C 1 1 D 1 1 DEA 1 EAA 1, Строим АN ЕА 1, где ЕА 1 – линия пересечения плоскостей. А В 1 С F 1 D 1 E

Чтобы найти высоту AN, выразим два раза площадь треугольника EAA 1. A 1 F Чтобы найти высоту AN, выразим два раза площадь треугольника EAA 1. A 1 F 1 B 1 C 1 N 1 2 D 1 А В E 1 F 3 1 С 1 D 1 E

 В правильной треугольной призме АВСA 1 B 1 C 1 стороны основания равны В правильной треугольной призме АВСA 1 B 1 C 1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. Точка D – середина ребра CC 1. тогда PD = DB 1 = AD Найдите расстояние от вершины С до плоскости АDВ 1. по катету и острому углу ADP - равнобедренный С 1 D 1 = PC = AC Воспользуюсь приемом, который обозначен на странице сайта: через по катетам ACP - равнобедренный точку С провести плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости ADB 1. С 1 В 1 Точка Р – след секущей плоскости на прямой СВ. 3 2 D А 1 Точки А и Р лежат в одной В равнобедренном плоскости АВС, можем их треугольнике медиана, соединить. проведенная из вершины к РА – ребро двугранного 3 основанию, будет являться и высотой. РАС. угла В 1 3 2 P С K 2 В Опустим перпендикуляр на ребро РА в каждой грани двугранного угла. DK AP 2 А CK AP DKC – линейный угол двугранного угла DAPC

KDC ADB 1, в плоскости KDC опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей DК. KDC ADB 1, в плоскости KDC опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей DК. ACВ = 600, тогда смежный угол ACP = 1200. Плоскость линейного ACК = 600, т. к. высота равнобедренного треугольника АСР является и угла биссектрисой. С 1 перпендикулярна В 1 2 САК = 1800 – 900 – 600 каждой грани двугранного угла. САК = 300 3 Из САК: СК = 1. 2 D P 13 2 N А 1 3 2 2 С 0 12 0 0 60 1 600 K 3 В 2 300 А

 Мы уже решали задачу о нахождении высоты треугольника через площадь. Но можно применить Мы уже решали задачу о нахождении высоты треугольника через площадь. Но можно применить и подобие треугольников KCD и СND. Треугольники подобны по двум углам: угол D – общий, KCD и CND – прямые. Составим пропорцию сходственных сторон. С 1 2 В 1 3 2 D P 13 2 N А 1 3 2 13 2 2 С 600 1 600 K D 3 K 2 300 А В 3 2 N 1 С

a В пирамиде DABC все ребра равны . Через О обозначим центр О – a В пирамиде DABC все ребра равны . Через О обозначим центр О – точка пересечения медиан. основания АВС, а через К – середину высоты DO пирамиды. Найдите Применим свойство медиан: расстояние от точки К до грани АBD. медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СO : ON = 2 : 1. Вся медиана CN– это 3 части. D a a a 3 NО = : 3 = (это 1 часть) 2 6 a 3 CО = : 3 * 2 = (это 2 части) 2 3 L ? K a 6 3 3 2 A 2 C a N 3 a 3 Oa 3 6 2 600 B a 3

 Треугольники NOD и KLD подобны по двум углам: угол D – общий, KLD Треугольники NOD и KLD подобны по двум углам: угол D – общий, KLD и O – прямые. D a a 3 D L ? K a 3 3 a 2 A a 6 3 L 6 ? 2 C a N a 3 Oa 3 6 2 600 B a N a 6 6 3 a K 3 O 6

6 Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром . Найдите расстояние О – точка пересечения 6 Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром . Найдите расстояние О – точка пересечения медиан. от вершины А до плоскости BDC. Применим свойство медиан: D медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СO : ON = 2 : 1. Вся медиана CN– это 3 части. 3 2 2 NО = : 3 = (это 1 часть) 2 2 3 2 2 CО = : 3 * 2 = (это 2 части) 2 6 3 2 2 A C 2 2 N 6 600 B 2 O 3 2 2 6