А М ТЕ Арифметична і геометрична прогресії
Історичні відомості прогресії
• Слово “прогресія” походить від латинського слова “progressio” і означає “рух уперед” (як і слово “прогрес”). Уперше цей термін як математичний вживається у працях римського вченого Боеція (V - VIст. ).
Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються в папірусах ІІ тисячоліття до н. е. • Перші із задач на прогресії, що дійшли до нас, пов’язані з господарською діяльністю, а саме – з розподілом продуктів, поділом спадку тощо.
Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса: • “Нехай тобі сказали: розділи десять мір ячменю між 10 чоловіками так, щоб різниця між кожним чоловікомі його сусідом становила 1/8 міри ячменю ”.
У папірусі подається не тільки текст задачі, але й пропонується правило для обчислення частки першої з десяти осіб. • Це правило, виражене мовою сучасних формул, має вигляд:
Задача із папірусу Рінда “Є 7 будинків, в кожному будинку по 7 котів, кожен кіт з’їдає 7 мишей, кожна миша з’їдає по 7 колосків ячменю, кожен колосок, якщо посіяти зерно з нього, дає 7 мір ячменю. Знайти суму загального числа будинків, котів, мишей, колосків і мір”.
У папірусі дано два розв’язання цієї задачі: ПЕРШЕ – безпосереднім множенням і наступним додаванням членів послідовності: ДРУГЕ – множенням числа 2801 на 7. Число 2801 дістають в результаті додавання Загальної формули суми членів геометричної прогресії навіть для випадку єгиптяни, очевидно не знали.
Ця стародавня задача на геометричну прогресію не раз зустрічається в різних народів з дещо зміненим текстом. Зустрічається вона і серед древньоруських народних задач. “ Іде 7 баб; у кожної баби по 7 палиць; на кожній палиці по 7 сучків; на кожному сучку по 7 кошиків; у кожному кошику по 7 горобців, у кожного горобці по 7. Скільки всього предметів? ”
З досліджень вавилонських клинописних текстів епохи Хаммурані (XVIII cт. до н. е. ) бачимо, що і в стародавньому Вавилоні розв’язування деяких питань господарського і наукового характеру приводимо до арифметичної і геометричної прогресії.
Ось одна з таких задач “ 10 братів; 1 2/3 міни срібла; брат над братом піднімається; на скільки піднімається, я не знаю. Частка восьмого 6 мехелів. Брат над братом на скільки піднімається? ” (1 2/3 міни становлять 100 мехелів).
В епоху Хаммурані вавилонські математики мали уявлення і про геометричну прогресію. Знайдено глиняну дощечку з клинописним текстом, який розшифрував один англієць – ассіролог.
Цей текст розповідає про те, яка частина місячного круга освітлена сонцем кожного з п’ятнадцяти днів від молодика до повного місяця. Збільшення освітленої частини місячного круга протягом перших п’яти днів відбувається за законом геометричної прогресії із знаменником 2, а в наступні десять днів – за законом арифметичної прогресії з різницею 16.
У Стародавній Греції в часи Евкліда і Архімеда (ІІІ ст. до н. е. ) властивості прогресій розглядались не лише при розв’язуванні практичних задач, але й у зв’язку з теоретичними дослідженнями. Так, у книзі Евкліда “Начала” подається формула суми трьох членів геометричної прогресії.
АНГЛІЯ XVIII століття В XVIII ст. в англійських підручниках з’явилися позначення арифметичної і геометричної прогресії. Арифметична Геометрична
У нас задачі на прогресії вперше зустрічаються в одній з найдавніших пам’яток руського права, в “Руській правді”, складеній при Ярославі Мудрому в ХІ столітті.
Там є стаття, присвячена обчисленню приплоду від 22 овець за 12 років, при умові, що кожна вівця щорічно приносить одну овечку і одного барана. Там же можна прочитати складений сільським господарем цікавий розрахунок приплоду за 12 або 9 років від усієї худоби і бджіл його села, прибутку від посіяних хлібів і п’яти скирт сіна, а також розрахунок плат за дванадцятирічну сільську роботу жінки з дочкою
Зустрічаються прогресії і в російських математичних рукописах XV – XVII cтоліть Ось одна з таких задач: “Було 40 міст, а в кожному місті по 40 вулиць, а на кожній вулиці по 40 домів, а в кожному домі по 40 стовпів, а на кожному стовпі по 40 кілець, а біля кожного кільця по 40 коней, а біля кожного коня по 40 чоловік, а в кожного чоловіка по 40 батогів. Чи багато їх всього було? ”
Значна кількість задач на прогресії міститься в чудовій пам’ятці математичної літератури початку XVIII cт. “Арифметиці” Л. П. Магніцького. Протягом півстоліття ця книга була основним математичним підручником в Росії. М. В. Ломоносов дуже високо цінив книгу Л. П. Магніцького, називаючи її “вратами ученості”.
Зі знаходженням суми членів арифметичної прогресії пов’язана така цікава історія. Відомий німецький математик Карл Гаусс (1777 - 1875) ще у школі виявив блискучі математичні здібності. Якось учитель запропонував учням знайти суму перших ста натуральних чисел. Маленький Гаусс розв’язав цю задачу за хвилину. Зміркувавши, що суми 1+100, 2+99 і т. д. рівні, він помножив 101 на 50, тобто число таких сум. Інакше кажучи, він помітив закономірність, яка властива арифметичній прогресії.
Давно неабиякою популярністю користується задача-легенда, яка належить до початку нашої ери. Індійський мудрець, який придумав гру в шахи, попросив за свій винахід у раджі, на перший погляд, скромну винагороду: за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зернятко, за другу – 2, за третю – 4 і т. д. – за кожну наступну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню.
Дана послідовність є геометричною b 1 = 1, q = 2, n = 64. S 64 - ? Складемо послідовність чисел 1, 2, 4, 8, 16 … Загальна кількість зерен, яку попросив винахідник, дорівнює S 64=264 -1
Багатий раджа був приголомшений, коли дізнався, що він не в змозі задовольнити це “скромне” бажання. ення знач , що тому рівнює 15. ава в -1 до Спр 4 5516 зу 26 073709 вира 744 8446 1 Для того, щоб зрозуміти, наскільки величезним є це число, уявимо, що зерно зберігають у коморі площею 12 га. Її висота була б більшою за відстань від Землі до Сонця.