a А Н А Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую. Н Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра
Планиметрия Стереометрия Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. А В С Двугранный угол
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости. Прямая a – ребро двугранного угла a Две полуплоскости – грани двугранного угла
Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла D Угол РDEK S O А Р N F В M К X E Угол SFX – линейный угол двугранного угла
AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB-линейный угол двугранного угла ACDВ Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
Примеры двугранных углов:
Определение: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Алгоритм построения линейного угла. Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК. D Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. O Р К E
Все линейные углы двугранного угла равны другу. Лучи ОА и О 1 А 1 – сонаправлены Лучи ОВ и О 1 В 1 – сонаправлены O А В Углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны, как углы с сонаправленными сторонами А 1 O 1 В 1
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный. АС H-я В АС NМ П-я я я Н-Н П-р ВМ TTП А К N M П-я С Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный. АС ВС TTП H-я АС NС П-я В П-р Н -я А К С П-я N Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный. АС ВS TTП H-я АС NS П-я Ня В А П-р К С S П-я N Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – прямоугольник. А TTП BС DС H-я NС П-я В D П-р Н -я DС К С П-я N Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С острый. DС ВM TTП DС H-я NM П-я А В я Н- D M П-я П-р N К С Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С тупой. TTП DС А ВM H-я DС NM П-я В Ня П-р D С К П-я N M Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – трапеция, угол С острый. TTП DС ВM H-я А DС NM П-я В Ня П-р D К П-я M N С Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
Задача 1: В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Решение: Пусть О – середина ВD. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 ВDС 1.
Задача 2: В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠DMB – линейный угол двугранного угла BACD.
Решение: Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM⊥AC и DM⊥AC и, следовательно, ∠DMB является линейным углом двугранного угла DACB.
Задача 3: Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2, ∠ВАС=1500 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 450.
Решение: 1) АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α
2) Так как АС⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме , обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1=450. 3) ∆ВАК: ∠А=300, ВК=ВА·sin 300, ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1=ВК·sin 450, ВВ 1=