9. Выпуклая оптимизация 9. 1. Функция f,

9. 2. Функция одной переменной выпукла точки плоскости, лежащие над её графиком y

9. 3. Функция f , заданная на выпуклом множестве, выпукла тогда и только тогда,

9. 5. О выпуклости сложных Если функций. y = h(t) – выпуклая

9. 6. Проведем прямую через две точки Если – выпуклое множество, то

9. 7. Дифференцируемая функция f , определенная на выпуклом множестве Ω, выпукла Условиями

9. 9. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на открытом выпуклом множестве Ω функция

Симметрическая матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все её угловые миноры

9. 11. Необходимым и достаточным условием неотрицательной определенности симметрической матрицы является неотрицательность

9. 12. Пример. Проверим выпуклость квадратичной фу Т. к.

9. 13. Для квадратичной функции положительная определенность матрицы Гессе является не только достаточным,

Скачать презентацию 9. Выпуклая оптимизация 9. 1. Функция f,

выпуклые.pptx

Количество слайдов: 11

> 9. Выпуклая оптимизация 9. 1. Функция f, определенная на выпуклом множестве 9. Выпуклая оптимизация 9. 1. Функция f, определенная на выпуклом множестве называется выпуклой, если Если же из строгих неравенств всегда сле для строгие, то функция f называется строго выпуклой. Например, линейная форма – функции, выпуклые на

>9. 2. Функция одной переменной выпукла точки плоскости, лежащие над её графиком y 9. 2. Функция одной переменной выпукла точки плоскости, лежащие над её графиком y образуют выпуклое множество. y = f (x) x Дифференцируемая на промежутке функция y = f (x) выпукла на этом промежутке её производная оказывается неубывающей на нём (или если существует).

>9. 3. Функция f , заданная на выпуклом множестве, выпукла тогда и только тогда, 9. 3. Функция f , заданная на выпуклом множестве, выпукла тогда и только тогда, когда её надграфик множество – выпукло. 9. 4. Пусть fi – выпуклые функции, определенные на выпуклом множестве Ω , Тогда – выпуклая функция. Если при этом хотя бы одно слагаемое – строго выпуклая функция, то такова же и вся сумма.

> 9. 5. О выпуклости сложных Если функций. y = h(t) – выпуклая 9. 5. О выпуклости сложных Если функций. y = h(t) – выпуклая неубывающая функция одной переменной, определенная на множестве значений выпуклой функции то сложная функция – выпуклая. Если к тому же f – строго выпуклая функция, а функция y = h(t) – возрастающая, то функция ψ строго выпукла на множестве Ω (выпуклом). Аналогичные утверждения верны, если имеется k выпуклых функций и выпуклая функция k переменных, возрастающая по каждой из них.

> 9. 6. Проведем прямую через две точки Если – выпуклое множество, то 9. 6. Проведем прямую через две точки Если – выпуклое множество, то промежуток. Для любой определенной на Ω функции имеем сечение f – функцию переменной t , заданную на промежутке Для того, чтобы функция была выпуклой [строго выпуклой] необходимо и достаточно, чтобы выпуклой [строго выпуклой] было любое её сечение.

>9. 7. Дифференцируемая функция f , определенная на выпуклом множестве Ω, выпукла Условиями 9. 7. Дифференцируемая функция f , определенная на выпуклом множестве Ω, выпукла Условиями строгой выпуклости являются строгие нер 9. 8. Если функция f дважды дифференцируема, рассматривают – матрицу Гессе, в i-ой строке j-ом столбце которой записывают – значение второй производной в точке

> 9. 9. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на открытом выпуклом множестве Ω функция 9. 9. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на открытом выпуклом множестве Ω функция f была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы её матрица Гессе была неотрицательно определена в любой точке – второй дифференциал функции f оказывается неотрицательно определенной квадратичной формой. Если является положительно определенной в любой точке, то f – строго выпуклая функция.

>Симметрическая матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все её угловые миноры Симметрическая матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все её угловые миноры положительны. 9. 10. Пример. Строгая выпуклость квадратичной фун следует из положительной определенности её матрицы Гессе:

>9. 11. Необходимым и достаточным условием неотрицательной определенности симметрической матрицы является неотрицательность 9. 11. Необходимым и достаточным условием неотрицательной определенности симметрической матрицы является неотрицательность всех её диагональных миноров. Минор матрицы называют диагональным, если он получен из матрицы выделением строк и столбцов с одинаковыми номерами.

>9. 12. Пример. Проверим выпуклость квадратичной фу Т. к. 9. 12. Пример. Проверим выпуклость квадратичной фу Т. к. её матрица Гессе не является положительно определенной, но все диагональные миноры первого и второго порядка положительны.

>9. 13. Для квадратичной функции положительная определенность матрицы Гессе является не только достаточным, 9. 13. Для квадратичной функции положительная определенность матрицы Гессе является не только достаточным, но и необходимым условием строгой выпуклости. 9. 14. Свойства матрицы Гессе удобно проверять, зная её собственные значения: если все они неотрицательны, то матрица оказывается неотрицательно определенной; у положительно определенной все собственные значения должны быть положительны.