74 9 8 6 1 5 2 3

74 9 8 6 1 5 2 3 Виконали студенти групи ПМ-2 1 Моргун М. Брагінець Я.

План 1. 2. 3. 4. Основні поняття Нерівності Чебишова Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі 2

Основні поняття • Граничні теореми теорії ймовірностей встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових величин або випадкових подій при великій кількості випробувань. Граничні теореми описують також граничні закони розподілу. • Граничні теореми, які встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових подій, об’єднують під загальною назвою – закону великих чисел. • Суть закону великих чисел полягає в тому, що в разі дуже великої кількості випадкових явищ усереднений їхній результат практично перестає бути випадковим і може бути передбачений із великою часткою вірогідності. 3

Нерівності Чебишова • Нерівності Чебишова дозволяють оцінити ймовірність відхилення випадкової величини від математичного сподівання. • Нерівності справедливі як для неперервних, так і для дискретних випадкових величин. 4

Нерівності Чебишова • Перша нерівність Чебишова, в такій формі з'явилася вперше в роботі Андрія Андрійовича Маркова «Исчисление вероятностей» 1913 р. • Теорема (Нерівність Маркова). Для кожної невід’ємної випадкової величини Х, що має математичне сподівання M[X] < ∞ при будьякому ε >0 справедлива нерівність: (1) 5

Нерівності Чебишова Доведення: Нехай Х − неперервна випадкова величина (x ≥ 0), що має щільність розподілу f(x)≥ 0. Тоді так як то Отже, остаточно отримали: Звідки , що і потрібно було довести. 6

Нерівності Чебишова Аналогічно, замінивши інтеграл сумою доводиться нерівність для дискретних випадкових величин. З нерівності (1) випливає, що: (2) 7

Нерівності Чебишова Для довільної випадкової величини X, яка приймає невід’ємні значення та має скінчене математичне сподівання : Якщо X – дискретна випадкова величина, то: Якщо X – неперервна випадкова величина, f(x) – щільність її ймовірностей, то: 8

Нерівності Чебишова Приклад 1. Відомо, що у середньому студент запізнюється на лекцію на 2 хвилини. Оцінити ймовірність того, що студент запізниться не менше ніж на 5 хвилин. 9

Нерівності Чебишова Розв’язання: Нехай випадкова величина Х − час запізнення студента на лекцію. За умовами задачі M[X]=2 хв. , ε = 5, тоді за формулою (1) маємо: Відповідь: 0. 4; 10

Нерівності Чебишова Приклад 2. Середній термін служби автомобіля без капітального ремонту 4 роки. Оцінити ймовірність того, що даний автомобіль не прослужить більше 10 років без капітального ремонту. 11

Нерівності Чебишова Розв’язання: Нехай випадкова величина Х − термін служби автомобіля без капітального ремонту. За умовами задачі M[X]=4 роки, ε = 10. За нерівністю (1) отримуємо: Таким чином, шукана ймовірність дорівнює: Відповідь: 0. 6 12

Нерівності Чебишова • Якщо випадкова величина Х приймає всі дійсні значення (x R), то замість нерівності Маркова для отримання оцінок ймовірностей подій, пов’язаних з величиною Х використають нерівність Чебишова. • Цю нерівність прямими методами довели, незалежно один від одного, у 1853 р. І. Бьєнеме і в 1866 р. Пафнутій Львович Чебишов, отже нерівність інколи називають нерівністю Чебишова − Бьєнеме. 13

Нерівності Чебишова Теорема 2. (Нерівність Чебишова). Для будь-якої випадкової величини X, що має дисперсію D[X] < ∞ при будь-якому ε >0 справедлива нерівність: , (3) тобто абсолютне відхилення випадкової величини від її математичного сподівання більше або дорівнює ε з імовірністю, не більшою за відношення дисперсії цієї випадкової величини до квадрата ε. 14

Нерівності Чебишова Доведення: Нехай Х − неперервна випадкова величина має щільність розподілу f(x)≥ 0, тоді: Однак, для дисперсії маємо: 15

Нерівності Чебишова звідки Тобто що і потрібно було довести. З нерівності (3) випливає, що: (4) 16

Нерівності Чебишова Як наслідок з нерівності Чебишова отримаємо так зване “правило трьох сігм ”, яке формулюють, так: ймовірність випадковій величині відхилитися від свого математичного сподівання більш, ніж на три корені з дисперсії, мала. Зрозуміло, що для кожного розподілу величина цієї ймовірності своя: для нормального розподілу, ця ймовірність дорівнює 0, 0027. Ми отримаємо вірну для всіх розподілів з кінцевою дисперсією оцінку зверху для «ймовірності випадкової величини відхилитися від свого математичного сподівання більш, ніж на три корені з дисперсії» . 17

Нерівності Чебишова Наслідок: Для будь-якої випадкової величини Х, що має математичне сподівання дисперсію M[X] < ∞ і дисперсію D[X] =σ2 при ε=3σ справедлива нерівність: тобто ймовірність того, що відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання вийде за граничне 3σ, не може бути більш. Це і є правило трьох сігм. 18

Нерівності Чебишова Нерівність Чебишова для частоти випадкової величини, розподіленої за законом Бернуллі, має вигляд: (5) або (6) Формули (5) і (6) дають оцінку знизу для відхилення частоти від ймовірності при розподілі Бернуллі. 19

Нерівності Чебишова Приклад 4. Монета підкидається 10 000 разів. Оцінити ймовірність того, що частота випадання герба відрізняється від ймовірності більш ніж на 0. 01 20

Нерівності Чебишова Розв’язання. За умовами задачі треба оцінити , m − число випадань герба, а Хi − незалежні випадкові величини, що мають розподіл Бернуллі з параметром 1/2, рівні «числу гербів, що випали при i-му підкиданні» (тобто одиниці, якщо випав герб і нулю інакше). Оскільки Інакше кажучи, нерівність Чебишова дозволяє укласти, що, в середньому, не більше ніж в чверті випадків при 10 000 підкиданнях монети частота випадання герба відрізнятиметься від 1/2 більш ніж на одну соту. Побачити, наскільки це груба оцінка, можна ознайомившись з центральною граничною теоремою. 21

Нерівності Чебишова Приклад 5. Середнє значення довжини деталі 50 см. , а її дисперсія дорівнює 0, 1. Оцінити ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться по довжині в полі допуску: не менше 49, 5 і не більше 50, 5 см. 22

Нерівності Чебишова Розв’язання: За нерівністю Чебишова треба оцінити знизу, , де за умовами задачі За формулою (4) отримуємо: 23

Закон великих чисел у формі Чебишова Нехай Хi (i=1, 2, … , n) − випадкові величини з математичними сподіваннями M[ Хi ]. Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що при збільшенні n до нескінченності різниця збігається до нуля за ймовірністю, тобто для довільного малого ε > 0 має місце границя: (7) 24

Закон великих чисел у формі Чебишова Теорема Чебишова − одна з найбільш важливих форм закону великих чисел, яка встановлює зв'язок між середнім арифметичним спостережуваних значень випадкової величини та її математичним сподіванням. 25

Закон великих чисел у формі Чебишова Теорема 3. (теорема Чебишова). Якщо – послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають математичні сподівання M[Хi] та кінцеві дисперсії, які обмежені однією і тією ж постійною: то для будь-якого ε>0 ймовірність нерівності буде як завгодно близька до одиниці, якщо число випадкових величин n достатнє велике. 26

Закон великих чисел у формі Чебишова Тобто виконується граничне співвідношення (8) Таким чином, теорема Чебишова (8) твердить , що середнє арифметичне попарно незалежних випадкових величин збігається за ймовірністю до середнього арифметичного їх математичних сподівань. 27

Закон великих чисел у формі Чебишова Доведення: Розглянемо нову випадкову величину Знайдемо її математичне сподівання та дисперсію за теоремами про математичне сподівання та дисперсію попарно незалежних випадкових величин Застосуємо до X нерівність Чебишова, для будь-якого ε>0 має місце : 28

Закон великих чисел у формі Чебишова Підставивши значення отримуємо: Оскільки за умовами теореми дисперсії випадкових величин обмежені однією і тією ж постійною с, тобто: 29

Закон великих чисел у формі Чебишова Підставив цю оцінку у попередню нерівність отримуємо: (9) Перейдемо до границі при n → ∞ : Оскільки ймовірність не може бути більше 1, то теорему доведено. 30

Закон великих чисел у формі Чебишова Наслідок: Якщо – попарно незалежні випадкові величини, що мають одинакові математичні сподівання M[Хi] = а та рівномірно обмежені дисперсії, то для будь-якого ε>0 ймовірність нерівності буде як завгодно близька до 1, якщо кількість випадкових величин велика. Тобто теорема Чебишова набуває вигляду: (10) 31

Закон великих чисел у формі Чебишова Інакше кажучи, при великому числі незалежних дослідів n середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини збігається за ймовірністю до її математичного сповідання. Таким чином, закон великих чисел стверджує, що середнє арифметичне великого числа випадкових доданків «стабілізується» із зростанням цього числа. Як би сильно кожна випадкова величина не відхилялася від свого середнього значення, при підсумовуванні ці відхилення «взаємно гасяться» , так що середнє арифметичне наближається до постійної величини. 32

Закон великих чисел у формі Чебишова Приклад 5. Гральний кубик підкидають 300 разів. Оцінити знизу ймовірність того, що середнє арифметичне числа очок, що випали, відхилиться від математичного сповідання за абсолютною величиною, не більше ніж на 0, 2. 33

Закон великих чисел у формі Чебишова Розв’язання: Нехай – попарно незалежні випадкові величини, число очок, що випали при i-му підкиданні. Для кожної з величин Хi знайдемо Шукану оцінку отримуємо за наслідком теореми Чебишова, де 34

Закон великих чисел у формі Чебишова Приклад 6. Послідовність незалежних випадкових величин задається законом розподілу: Чи можна до даної послідовності застосувати теорему Чебишова? 35

Закон великих чисел у формі Чебишова Розв’язання: Для того, щоб до даної послідовності випадкових величин можна було застосувати теорему Чебишова, достатньо, щоб ці величини були попарно незалежними, мали скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії. Оскільки випадкові величини незалежні, то вони є попарно незалежними, тобто перша умова теореми Чебишова виконується. Знайдемо математичні сподівання випадкових величин, що входять у задану послідовність: 36

Закон великих чисел у формі Чебишова Отже, всі випадкові величини мають скінченні математичні сподівання тобто друга умова теореми Чебишова виконується. Знайдемо дисперсії випадкових величин: Таким чином зі збільшенням n дисперсії рівномірно обмежені числом , тобто третя умова теореми Чебишова виконується. Оскільки всі умови виконуються, до даної послідовності можна застосувати теорему Чебишова. 37

Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі Якщо – послідовність попарно незалежних однаково розподілених випадкових величин, то закон великих чисел до такої послідовності можна застосувати і без припущення об обмеженості дисперсій. Цей факт встановлює теорема Хінчіна. 38

Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі Теорема 4. (теорема Хінчіна). Нехай – послідовність попарно незалежних однаково розподілених випадкових величин, що мають кінцеві математичні сподівання M[Хi] = а< ∞. Тоді для будь-якого ε>0 виконується граничне співвідношення: (11) 39

Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі Отримаємо як наслідок із закону великих чисел Чебишова закон великих чисел Бернуллі (1713). На відміну від доведеного через півтора століття закону великих чисел Чебишова, що описує граничну поведінку середнього арифметичного випадкових величин з довільними розподілами, закону великих чисел Бернуллі — твердження лише для схеми Бернуллі. 40

Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі Теорема 5. (теорема Бернуллі). Якщо в кожному з n незалежних випробуваннях ймовірність появи події А постійна і дорівнює р, то при досить великій кількості випробувань ймовірність того, що модуль відхилення відносної частоти появ події А в n випробуваннях від р буде як завгодно малим, як завгодно близька до 1 (12) 41

Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі Доведення: Розглянемо випадкові величини де Хi – число появ події А в i-му випробуванні. При цьому Хi можуть приймати тільки два значення: 1 (подія А відбулася) з ймовірністю р і 0 (подія А не відбулася) з ймовірністю (1−р). Розглянуті випадкові величини попарно незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії. (тому що 42

Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі Отже, до них можна застосувати теорему Чебишова: Але, оскільки Хi приймає тільки два значення (1 і 0), то сума дорівнює числу m появ події в n випробуваннях, тобто Отже, що і потрібно було довести. 43

Закон великих чисел у формах Хінчіна і Бернуллі Зміст теореми полягає в тому, що при необмеженому збільшенні числа експериментів n частота появи події в перших n випробуваннях збігається за ймовірністю до ймовірності успіху в кожному окремому експерименті р. Таким чином, встановлений зв'язок між частотою події та її ймовірністю: статистичне визначення ймовірності є наслідком закону великих чисел. 44

Дякуємо за увагу