7 Теорема Гюйгенса-Штейнера Момент инерции зависит от

§ 7. Теорема Гюйгенса-Штейнера Момент инерции зависит от положения оси относительно которой этот момент вычисляется. Найдем зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей Z и Z’, одна из которых (Z’) проходит через центр масс С тела. z z’ Момент инерции диска , O Мk C zk=z’k d xk=x’k x O’ x’ C’ y, y’ yk=y’k+d вырезанного в теле, (точка Мk принадлежит диску) относительно осей Z и Z’.

Подставим координаты точки Мk в выражения для моментов инерции Момент инерции системы материальных точек относительно какой-либо оси равен её моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями

§ 8. Теорема об изменении количества движения системы Количеством движения системы называют векторную величину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы. Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость её центра масс Если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела (системы) равно нулю.

При сложном движении количество движения не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс. Таким образом, количество движения тела можно рассматривать как характеристику поступательного движения тела. При сложном движении – как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс тела.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для каждой точки системы можно записать основное уравнение динамики. по свойству внутренних сил (1)

(1) – теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси

Проинтегрируем уравнение (1) или где – импульс внешних сил Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени В проекциях на координатные оси

Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения системы две разные формы одной и той же теоремы Следствия 1. Если то Если сумма всех внешних сил действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению. 2. Если то Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Для эффективного применения теорем изменения и сохранения количества движения необходимо систему выбирать так, чтобы неизвестные силы были внутренними Примеры 1. Определить скорость отдачи ружья, если известна скорость Vп и масса mп пули и масса mр ружья. Х: 2. Ракета с реактивным двигателем выбрасывает струю газов со скоростью U, масса ракеты mр уменьшается на величину dm, а скорость ракеты возрастает на величину d. V. Определить скорость ракеты. - Формула Циолковского К. Э. (1857 -1935)

§ 9. Теорема об изменении момента количества движения системы v Главным моментом количества движения или кинетическим моментом системы относительно данного центра О называется величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра v Моментом количества движения системы относительно координатной оси X называется величина Оси Y: Оси Z:

Рассмотрим главный момент количества движения вращающегося тела с угловой скоростью ω z Линейная скорость точки К: Моментом количества движения относительно оси Z ω φ h. K m. K K Vk для всего тела z. K величина O x y. K x. K y - момент инерции тела относительно оси Z - кинетический момент вращающегося тела относительно оси Z

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси Z, то кинетический момент системы будет Если тело поворачивается вокруг мгновенной оси вращения Оℓ с угловой скоростью ω, то кинетический момент такого тела Сопоставляя момент количества движения тела и количество движения видим, что момент инерции тел является мерой инертности тел при вращении Моменты количества движения относительно осей X и Y - центробежные моменты инерции

• Тело или систему тел можно заменить точечной массой, которая располагается на расстоянии ρZ от оси Z, тогда момент инерции можно записать в виде где М – масса всей системы, ρZ – радиус инерции v Радиус инерции это расстояние от оси Z, на котором должна быть расположена масса, равная массе всей системы, чтобы получить её момент инерции Твердое тело – непрерывная система материальных точек с массами dm, разбивая тело на элементарные части, и подставляя в выражение для осевого момента или ρ - плотность тела, V - объем тела

§ 6. Моменты инерции некоторых однородных тел 1. Тонкий однородный стержень длиной ℓ и массой т Задан стержень АВ, направим ось Х вдоль стержня. На расстоянии х от оси Z выделим элемент ∆х стержня. Z Масса этого элемента ∆m=m∆x/ℓ, ∆m m/ℓ - масса единицы длины стержня. В А т. к. Х x ∆x момент инерции стержня запишется ℓ суммируем по всей длине стержня,

2. Тонкий обруч (тонкое круглое однородное кольцо) радиусом R и массой m v Однородный диск, вращается вокруг оси Z, проходящей через центр масс однородного диска Тогда осевой момент инерции обруча z ↓↓ O R ∆mk y x т. к. толщиной обруча можно пренебречь, то - полярный момент инерции обруча

2. Тонкий обруч (тонкое круглое однородное кольцо) радиусом R и массой m v Найдем осевые моменты инерции диска относительно оси Х или Y. По определению полярный момент инерции O По второму свойству моментов инерции R ∆mk y т. к. относительно осей X и Y есть симметрия, то и x

2’. Тонкая цилиндрическая оболочка радиусом R и массой m v Осевой момент инерции такой оболочки относительно оси Z получается аналогичным образом, как и для кольца.

3. Тонкий круговой диск радиусом R и массой m v Определим элементарное кольцо радиусом r и шириной dr. Площадь этого кольца S=2πrdr, масса dm=ρ2πrdr, где ρ – масса единицы площади пластины R O Для выделенного элементарного кольца y r dr x чтобы получить для всей пластины, проинтегрируем

v 3’. Однородный круглый цилиндр массы m и радиусом R Разобьем цилиндр на элементарные диски толщиной dz, масса каждого из этих дисков dm=mdz/h. Тогда момент инерции каждого диска z просуммируем моменты инерции всех элементарных дисков R dz h O x y Моменты инерции цилиндра относительно осей X и Y определяются опять по 2 свойству и равны

4. Тонкая прямоугольная пластина со сторонами a и b и массой m v Однородный диск, вращается вокруг оси Z, проходящей через центр масс однородного диска Тогда осевой момент инерции обруча z ↓↓ O R ∆mk y x т. к. толщиной обруча можно пренебречь, то - полярный момент инерции обруча