Скачать презентацию 7 Двойственность в линейном программировании Производитель максимизирует Скачать презентацию 7 Двойственность в линейном программировании Производитель максимизирует

пример 7.1.pptx

  • Количество слайдов: 42

7. Двойственность в линейном программировании. 7. Двойственность в линейном программировании.

Производитель максимизирует общую выручку: – план производства. Производитель максимизирует общую выручку: – план производства.

Производитель может выступить как продавец ресурсов – готов продать их целиком, если выручка от Производитель может выступить как продавец ресурсов – готов продать их целиком, если выручка от реализации набора ресурсов, используемого для производства единицы каждого продукта, будет не меньше его продажной цены:

цены за единицу ресурса (в €) интерес покупателя ресурсов цены за единицу ресурса (в €) интерес покупателя ресурсов

7. 2. Пара двойственных задач в симметрической формев матричной записи: 7. 2. Пара двойственных задач в симметрической формев матричной записи:

Пример max min Пример max min

7. 3. Основное неравенство и его следствия для любых допустимых (вся выручка не превосходит 7. 3. Основное неравенство и его следствия для любых допустимых (вся выручка не превосходит суммарной оценки планов ресурсов). 7. 3. a. Если то 7. 3. b. Если – оптимальные планы. то обе ЗЛП разрешим 7. 3. с. Если в одной задаче ЦФ не ограничена, то МДП двойственной задачи пусто.

7. 4. Докажем на примере Т. е. Умножим на соответствующие неотрицательные переменные и сложим: 7. 4. Докажем на примере Т. е. Умножим на соответствующие неотрицательные переменные и сложим:

Аналогично: Т. е. Умножим и сложим…: Аналогично: Т. е. Умножим и сложим…:

7. 5. Основная теорема Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и другая; 7. 5. Основная теорема Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и другая; оптимальные значения их ЦФ равны: 7. 6. Теорема равновесия оптимальны условия дополняющей нежесткости j -й i-я строка столбец , матрицы А.

Произведение каждого компонента оптимального плана на невязку соответствующего условия двойственной задачи равно нулю. кой Произведение каждого компонента оптимального плана на невязку соответствующего условия двойственной задачи равно нулю. кой условия называют разность между значениями его левой и правой частей в результате подстановки некоторых значений переменных в данном случае – компонентов оптимального плана). 11 >>

каждое слагаемое равно нулю. все слагаемые неотрицательны 12 >> каждое слагаемое равно нулю. все слагаемые неотрицательны 12 >>

Экономическая интерпретация теоремы равновесия: Убыточные изделия по оптимальному плану не выпускают: – оценка избыточного Экономическая интерпретация теоремы равновесия: Убыточные изделия по оптимальному плану не выпускают: – оценка избыточного ресурса равна нулю. – ценный ресурс расходуется полностью. 13 >>

7. 7. Теорема об оценках и её экономический смысл – дополнительное увеличение на ε 7. 7. Теорема об оценках и её экономический смысл – дополнительное увеличение на ε ед. дефицитного ресурса № i увеличит оптимальную выручку на Принудительный выпуск δ ед. убыточной продукции № j уменьшит эту же выручку на 14 >>

7. 8. Другие формы двойственности. 15 >> 7. 8. Другие формы двойственности. 15 >>

Свободные члены ограничений являются коэффициентами ЦФ двойственной задачи; каждой переменной ЗЛП соответствует ограничение двойственной Свободные члены ограничений являются коэффициентами ЦФ двойственной задачи; каждой переменной ЗЛП соответствует ограничение двойственной задачи: если знак переменной не определен, то соотв. условие имеет вид равенства: И наоборот: 16 >>

если в ЗЛП целевую функцию максимизируют, то ее неотрицательной переменной в двойственной задаче соответствует если в ЗЛП целевую функцию максимизируют, то ее неотрицательной переменной в двойственной задаче соответствует неравенство а целевой функции – минимизация и т. д. 17 >>

x 2 8 4 3 С B Ω = OТАВС A О 2 Т x 2 8 4 3 С B Ω = OТАВС A О 2 Т 3 7 x 1 18

x 2 8 4 3 grad f С B Ω = OТАВС A О x 2 8 4 3 grad f С B Ω = OТАВС A О 2 Т 3 7 x 1 19

x 2 8 4 3 grad f С B Ω = OТАВС A О x 2 8 4 3 grad f С B Ω = OТАВС A О 2 Т 3 7 x 1 20

x 2 8 4 3 grad f С B Ω = OТАВС A О x 2 8 4 3 grad f С B Ω = OТАВС A О 2 Т 3 7 x 1 21 >>

Решили графически: ввели балансовые переменные: оптимальные значения балансовых переменных 22 >> Решили графически: ввели балансовые переменные: оптимальные значения балансовых переменных 22 >>

7. 10. Двойственная задача с балансовыми переменными: 23 >> 7. 10. Двойственная задача с балансовыми переменными: 23 >>

Таблица соответствия переменных: основные балансовые основные 24 >> Таблица соответствия переменных: основные балансовые основные 24 >>

Условия 7. 6. в новых обозначениях: 25 Условия 7. 6. в новых обозначениях: 25

Условия 7. 6. в новых обозначениях: третий ресурс недефицит ен его цена равна нулю Условия 7. 6. в новых обозначениях: третий ресурс недефицит ен его цена равна нулю 26 >>

27 >> 27 >>

28 >> 28 >>

29 >> 29 >>

Симплекс-метод в аналитической форме Имея начальный опорный п увеличиваем значение х1 становится базисным неизвестным Симплекс-метод в аналитической форме Имея начальный опорный п увеличиваем значение х1 становится базисным неизвестным – из вершины (0, 0, 12, 8, 21) попали в вершину (2, 0, 4, 0, 15): 30

х1 становится базисным неизвестным – из вершины (0, 0, 12, 8, 21) попали в х1 становится базисным неизвестным – из вершины (0, 0, 12, 8, 21) попали в вершину (2, 0, 4, 0, 15): 31 >>

Значение переменной х2 можно увеличить до 2; 32 Значение переменной х2 можно увеличить до 2; 32

х2 станет базисным неизвестным, х3 – свободным – из вершины (2, 0, 4, 0, х2 станет базисным неизвестным, х3 – свободным – из вершины (2, 0, 4, 0, 15) попали в вершину х* = (1. 5, 2, 0, 0, 2. 5). 33 >>

При этом согласно соответствию переменных преобразуется двойственная задача: 34 >> При этом согласно соответствию переменных преобразуется двойственная задача: 34 >>

и т. д. 35 >> и т. д. 35 >>

Итог в матричной форме: – оптимальные значения переменных двойственной задачи (оценки ресурсов) оказались коэффициентами Итог в матричной форме: – оптимальные значения переменных двойственной задачи (оценки ресурсов) оказались коэффициентами ЦФ основой задачи. 36 >>

И наоборот: коэффициентами ЦФ двойственной зад стали оптимальные значения переменных основной: 37 >> И наоборот: коэффициентами ЦФ двойственной зад стали оптимальные значения переменных основной: 37 >>

– матрица коэффициентов при неизвестных после преобразований. лишение единицы первого (дефицитного) ресурса уменьшает выручку – матрица коэффициентов при неизвестных после преобразований. лишение единицы первого (дефицитного) ресурса уменьшает выручку на 1. 25 €; для второго – соответственно на 0, 25 €. 38 >>

Добавим к i-му ресурсу εi единиц – соответственно уменьшим балансовые переменные: Оптимальная выручка может Добавим к i-му ресурсу εi единиц – соответственно уменьшим балансовые переменные: Оптимальная выручка может увеличиться на 39 >>

структура оптимального плана останется прежней нулевым значениям свободных переменных х3, х4 по-прежнему соответствуют неотрицательные структура оптимального плана останется прежней нулевым значениям свободных переменных х3, х4 по-прежнему соответствуют неотрицательные значения базисных: 40 >>

Проследим за изменением цен изделий: 41 >> Проследим за изменением цен изделий: 41 >>

– оптимальный план остался прежним выручка увеличится на 1. 5 a + 2 b. – оптимальный план остался прежним выручка увеличится на 1. 5 a + 2 b. 42 >>