7. 1 Основные понятия Определения В общем случае ОДУ можно записать в виде уравнения: Дифференциальное и интегральное исчисление. . . Обыкновенные дифференциальные уравнения ОД У 7. РЕШЕНИЕ ОДУ Оно связывает независимую переменную x, неизвестную функцию y(x) и ее производные. Порядок ОДУ определяется по порядку его старшей производной. Процесс нахождения решения ОДУ называется его интегрированием. Историческая справка MC: Demo Интегрирование
Решением уравнения является такая функция обращает его в тождество. , , которая при подстановке в исходное уравнение Мы здесь будем рассматривать: 1. уравнения 1 -го порядка 2. уравнения 2 -го порядка 3. систему уравнений вида:
Систему ОДУ удобно представить в векторной форме: векторная форма системы ОДУ - вектор решений; - вектор известных функций.
Геометрический смысл ОДУ Рассмотрим уравнение y x D ий 4. Геометрический смысл производной ? – определяет направление касательной в данной точке. x н ле ле По прав на , следовательно мы нашли значение производной искомой функции в данной точке. ая ьн ел 2. Т. к. в этой области функция f(x, y) определена, то можно найти ее значение. y сат y 1. Рассмотрим некоторую точку (x, y) из области D. 3. Но D ка Предположим, что функция f (x, y) определена и непрерывна в некоторой области D. f(x, y) x 5. Рассматривая множество таких точек, можно построить поле направлений. MC: Demo Поле направлений
y D Интегрирование уравнения геометрически интерпретируется как нахождение таких кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с полем направлений. Такие кривые называются ИНТЕГРАЛЬНЫМИ КРИВЫМИ. x
Пример. Уравнение Аналитического решения нет. Вопросы: 1. Сколько инт. кривых можно построить? 2. Как выбрать конкретную инт. кривую? интегральные кривые
Задача Коши Уравнение имеет бесчисленное множество решений. Чтобы выбрать из этого множества какое-либо одно (частное) решение можно задать некоторую точку (x 0, y 0) и выбрать интегральную кривую, проходящую через эту точку, т. е. надо задать дополнительное условие y(x 0) = y 0. Это условие называется начальным условием. Задача интегрирования уравнения с заданными начальными условиями называется начальной задачей или задачей Коши.
Согласно общей теории ОДУ, количество дополнительных условий, определяющих некоторое частное решение, д. б. равно порядку уравнения или системы уравнений. Поэтому для уравнения 2 -го порядка задача Коши будет: ов 2 усл Для системы n- го порядка: где n условий ия
Краевая задача В задаче Коши дополнительные условия задаются в одной точке при x = x 0. Однако, во многих случаях дополнительные условия могут задаваться в разных точках по x. Такие условия называются ГРАНИЧНЫМИ, а сами задачи – КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ. Очевидно, что краевые задачи возможны для ОДУ или системы ОДУ, начиная со второго порядка. интегральная кривая Пример. Уравнение 2 -го порядка y y 2 y 1 еск етрич геом ысл см ий a b x
7. 2 Решение ОДУ в системе Math. CAD Есть несколько стандартных методов. Мы рассмотрим только стандартную функцию Odesolve функция Odesolve Предназначена для решения начальных и краевых задач. В общем случае имеет следующую структуру: Odesolve ( [ V ], x, b, [ npoints] ) [ V ] – (необязательный параметр, используется только при решении систем ОДУ) – вектор-функция с именами интегрируемых функций в системе уравнений; x – имя переменной интегрирования; b – конечная точка интегрирования; [ npoints] - целое число узлов, используемых при сплайн интерполяции полученного решения. Необязательный параметр. По умолчанию - 1000.
Функция Odesolve используется в составе вычислительного блока Given служебное слово начальные или граничные условия Given <дифференциальные уравнения> <дополнительные условия> <решение с помощью функции Odesolve> Примечания: 1. уравнения должны быть линейны относительно старшей производной; 2. количество дополнительных условий должно совпадать с порядком уравнения; 3. при записи уравнений и дополнительных условий используются булевы операторы; 4. функция Odesolve возвращает решение в виде функции, полученной сплайн-интерполяцией численных результатов.
Можно использовать две формы записи производных: 1. с помощью операторов 2. с помощью кавычек (набираются Ctrl + F 7 ) Задача 1. Решить задачу Коши MC: Demo Задача 1 Здесь a и b – заданные параметры. Уравнение описывает затухающие колебания маятника при наличии трения.
Задача 2. Решить краевую задачу MC: Demo Задача 2 Здесь a и b – заданные параметры. Уравнение описывает тот же процесс.
Задача 3. Решить задачу Коши для системы уравнений MC: Demo Задача 3
Задание № 1 по ОДУ 1. Решить задачи 1 – 3, рассмотренные выше. Провести их параметрическое исследование; 2. Построить поле направлений для уравнения Решить задачу Коши для этого уравнения при следующих начальных данных: 3. Решить задачу Коши Здесь - малый параметр. Получить решения при. Объяснить влияние на решение. и
Пример н. корр. задачи: "Пойди туда не зная куда, найди то – не зная что! " 7. 3 Корректность задачи Коши Задача Коши называется корректно поставленной, если выполняются три условия: 1. 2. 3. решение существует; решение единственно; решение устойчиво по начальным данным. Корректность задачи Коши для уравнения Условие существования решения Если точка (x 0, y 0) принадлежит некоторой области D на плоскости x, y и в этой области правая часть уравнения f(x, y) определена и непрерывна, то в данной области з. Коши имеет решение. Условие единственности решения Если дополнительно в области D определена и непрерывна , то в данной области з. Коши имеет единственное решение. Условие устойчивости по начальным данным Если в области D функция f(x, y) удовлетворяет условиям существования и единственности решения, то решение з. Коши непрерывно зависит от правой части уравнения f(x, y) и от точки (x 0, y 0).
геометрическа интерпретация условий существования, единственности и устойчивости решение существует D интегральные кривые проходят через каждую точку области D. решение единственно D интегральные кривые не пересекаются. решение устойчиво D малые изменения начальных данных приводят к малым изменениям решения.
Пример. анализ корректности 1. Решение существует при y 0. задача Коши 2. - условия единственности нарушаются при y=0. Аналитическое решение: y x решения нет неединственность решения
7. 4 Построение разностных схем Рассмотрим задачу Коши: (1) экви вале фор нтные мы Решение будем искать на интервале: Задачу (1) можно представить в интегральной форме: (2) разностная сетка Разобьем отрезок [x 0, xk] на n малых интервалов – получим последовательность или СЕТКУ значений xi: узлы сетки Шаг сетки: hi = xi+1 – xi - в общем случае м. б. переменной, но обязательно конечной величиной. x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 xk xn-1 xn
(2) Будем искать решение задачи (2) в узлах сетки: yi = y(xi), причем в узле x 0 решение y 0 известно. Рассмотрим (2): (2) Для одного интервала сетки [xi, xi+1] оно примет вид: (3) неизвестно Мы будем использовать однопараметрическую аппроксимацию подынтегральной функции f(x, y) на интервале [xi, xi+1] : (4) Здесь - известный параметр.
Подставляя (4) в (3), получим однопараметрическое семейство разностных уравнений: (5) Здесь h – шаг разностной сетки. Явные и неявные разностные схемы Схема Эйлера При из (5) получим схему Эйлера (6) Это простейшая схема явного типа (уравнение явно относительно yi+1). Геометрический смысл: разностное решение – ломаная линия (касательные) точное е решени y 0 x 1 x 2 h ое численн е решени
Неявная схема При из (5) получим полностью неявную схему (7) искомое решение входит в обе части уравнения В общем случае при получим семейство неявных разностных схем. В неявных схемах искомое значение yi+1 входит в обе части разностного уравнения. Такие схемы называются НЕЯВНЫМИ. Их решение является более сложным, чем явных уравнений. Однако, они обладают свойством повышенной устойчивости при решении особого класса ОДУ – «жестких» дифференциальных уравнений. Например, при получим неявную схему (8)
Точность и порядок разностных схем Разностные методы решения ОДУ – приближенные, т. е. результат получается с погрешностью. Это вызвано тем, что дифференциальные уравнения при решении заменяются их разностными аналогами. Поэтому для всех разностных схем проводится оценка их погрешности. Без вывода Схема Эйлера Неявная схема error = C h Неявная схема оценка точности по порядку h error = C h 2 Здесь С – некоторая константа, зависящая от свойств функции f(x, y) На практике обычно используют схемы 4 – 5 порядка точности, например, методы Рунге-Кутта.
Задание № 2 по ОДУ 1. Используя метод Эйлера, написать свою функцию численного интегрирования задачи Коши : Провести тестирование Ваше функции на известном решении. 2. Решить уравнение на интервале t [0, tk] , где tk - заданный параметр. Предварительно построить поле направлений и провести качественный анализ решения. 3. Решить систему уравнений на интервале t [0, tk]. Здесь a, b, l, k – параметры задачи. Провести параметрическое исследование. Рассмотреть решение на фазовой плоскости.
7. 5 Примеры дифференциальных моделей Задача № 1. КРИМИНАЛЬНАЯ Постановка задачи. В некоторый момент времени t 0=0 найден еще “теплый” труп. Его температура – T 0. Через некоторое время (t=t 1) его температура снизилась до T 1. Температура окружающего воздуха известна - . Определить момент совершения преступления. РЕШЕНИЕ: 1. Построение математической модели. Согласно законам теплообмена тела с окружающей средой, температура тела описывается уравнением коэффициент теплообмена Примем допущения: 1. k = const (не зависит от температуры); 2. Температура окружающей среды не меняется, т. е. =const.
Тогда решение задачи можно получить из задачи Коши: Задача содержит два параметра: - температура среды (известен); k - коэффициент теплообмена (неизвестен). 2. Определение k Найдем k , используя дополнительное условие T=T 1 при t=t 1. Для этого проведем серию расчетов при различных k. Подбором найдем такое значение k, при котором интегральная кривая, выйдя из т. (t 0, T 0) попадет в т. (t 1, T 1). Это т. н. метод «стрельб» . T 0 T 1 ki k 2 t 0=0 t 1 t
3. Используя полученное k, решим задачу в прошлое – в область t<0. T=37 ЗАДАНИЕ Решить данную задачу при следующих исходных данных: T 0 = 30 o C; t = 0; T 1 = 28 o C; t = 1 (час); = 21 o C; T 0 T 1 ? tx t 0=0 t 1 t
Скачать презентацию 7 1 Основные понятия Определения В общем случае
7 Решение ОДУ.pptx