664 Прямая АМ касательная к окружности

№ 664. Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ. М В О А

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ. 14 20 В М 710 О А

Блиц-опрос. Найдите угол МАВ. 16 10 В О М 1610 : 2 = 160060/ : 2 = 80030/ А

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. В 860 2 = = 1720 О 860 А М

Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. 44055/ 2 = 880110/ = 89050/ В О 44055/ А М

№ 670. Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ 2 = АР АQ. Р Q А В РВ ВQ АВР АQВ по 1 признаку подобия = АР АВ = АВ АQ АВ 2 = АР АQ.

№ 671. Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите СD, если АВ=4 см, АС=2 см. C 6 ? D 2 А 4 В АВ 2 = АC АD. 42 = 2 АD. АD = 8

№ 672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В 1, С 1, а другая – в точках В 2, С 2. Докажите, что АВ 1 АС 1 = АВ 2 АС 2 А В 1 АD 2 = AB 1 АC 1 = В 2 С 1 АD 2 = AB 2 АC 2 D С 2

Свойство медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины. С 2 АО СО ВО = = = 1 В 1 О А 1 О С 1 О В 1 А 1 О А 1 С 1 В

Теорема Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. В K А 1 2 М L С

Обратная теорема Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. В K А М L С

Следствие Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В K С 1 А По теореме о биссектрисе угла ОМ ОМ=ОК ОК =ОL ОL О В 1 А 1 М L = 2 С По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С

Определение Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. М С В a Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку.

Теорема Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. М O A m B

Обратная теорема Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. A O B N m

Следствие Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. n B C О По теореме о р серединном перпендикуляре к отрезку m ОA ОA=ОB ОB =ОC ОC 3 A = По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС

Теорема Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. С 2 B A 1 С 1 A 4 В 1 В 2 А 2 По теореме о серединных перпендикулярах: C серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

ку ля ро в Точка Замечательные пересечения точки ме диа треугольника. н Точка пересечения бис сек три Точка с пересечения вы сот Точка пересечения серединных пе рп ен ди

Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. В Точка пересечения O высот называется М ортоцентр. Т В С А O С А К Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. O Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. O Эта точка замечательная – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности.