6 Нормальный закон распределения Стандартный нормальный закон Функция

6. Нормальный закон распределения Стандартный нормальный закон Функция Лапласа Вероятность попадания нормальной СВ в заданный интервал Правило «трех сигм»

Непрерывное распределение, которое занимает наиболее важное положение в теории и практике статистики распределение Гаусса, или нормальное распределение «Нормальный» можно понимать Это так, как выражение нормы, и этот ЗР действител некоторого стандарта, «образца поведения» СВ ьно важен вот почему: to be continued 1) Чаще всех в практических задачах ( «приложениях» ) 2) Им часто аппроксимируют другие законы

3) Является пределом для других ЗР при некотором n (биномиальный при числе испытаний) 4) Занимает центральное положение в семействе ЗР Часто встречается центр симметрии (моделей распределений), в связи с Примеры: тем, что (А, Е = 0) Случайная величина X распределена нормально, когда все ее значения x формируются под суммарным воздействием очень большого числа случайных факторов, эффекты каждого из них малы, сравнимы по величине и равновероятны по знаку

Ошибки измерений часто нормальны (такие распределения обнаружили астрономы в 18 веке) В статистике распределение выборочного среднего стремится к нормальному, даже если отдельные наблюдения не нормальны Некоторые характеристики живых организмов подчинены нормальному закону В производстве и контроле качества % брака, производительность, размеры В сфере … деталей финансов, рынка, в деловой практике отношение «цена / доход» , годовая зарплата …

СВ распределена по нормальному закону если ее функция плотности равна Тогда

Функция распределения нормальной величины определяется как Параметры и 2 матожидание и дисперсия Это двухпараметрический закон 1) если известно, что распределение нормально, знание и дает полное описание СВ 2) Используют специальное обозначение и все нормальные СВ отличаются только ! нормальных величин N: ,

N: , 0. 3/ NB! 0. 1/ + - + 2 Чем это распределен ие отличается от следующего ?

N: 0, 1

Коллекция нормальных распределений Площад и под кривым и равны

У нормальных распределений с разными и Общее: Различия: привязаны к унимодальные, разным высшая ордината точкам числовой в точке = Мо = оси Ме, чем < , тем > хвосты 0 в площадь обоих под кривой вблизи направлениях , (ПР 0 при x > вероятность значений ) вблизи центра колообразная симметричные, форма кривой, равноудаленные от с точкой перегиба на расстоянии от меньшие и большие х имеют равные p

Стандартный нормальный закон Это N: 0, 1 нормальный закон с = 0 и Узнаете =стандартизованное 1 (единичное) отклонение? стандартное (или Измеряет в «сигмах» единичное) нормальное отклонения x от распределение центра распределения Будучи стандартом для других ЗР, нормальное распределение имеет свой Любое нормальное собственный распределение можно стандарт записать в стандартной форме с помощью нормализованной переменной

Зачем нужна нормализация и стандартный нормальный ЗР? Смысл есть, весьма утилитарный! Дело в том, что ! Из x = z + f(x) = f(z)/ , dx = dz И ! F(x) = F(z) Тогда P { X < x} = P{Z < z } = F[z = (x- ) / ] P {x 1< X < x 2} = F[z 2= (x 2 - )/ ] F[z 1= (x 1 - )/ ]

Вместо расчета интегралов всякий раз для разных и , можно использовать раз и навсегда рассчитанные значения стандартной нормальной ФР называется интеграл вероятнос ти Однако, ? обычно при расчете вероятностей значений нормальной величины в том или ином интервале вместо интеграла вероятности есть таблицы значений используется функция Лапласа

У нее следующие свойства: (0) = 0; ( ) = 0. 5; это нечетная функция, ( z) = (z) Поскольку F(z) = 0. 5 + (z), то P {x 1 < X < x 2} = (z 2) (z 1)

Удобное практическое правило Вероятность того, что нормальная величина примет значение из некоторого интервала равна разности значений функции Лапласа для нормализованных верхней и нижней границ этого интервала Пример Производительность за смену (Y) распределена нормально, = 160 изд. , = 20. Экономическая целесообразность требует, чтобы выпускалось не более 200 и не менее 150 шт.

Для более надежного P{150 < Y < 200} = выполнения [z 2 = (200 -160)/20=2] требований [z 1 =(150 -160)/20=-0. 5] = необходимо: статистически ? (2) + (0. 5) = 0. 4472 + 0. 1915 = 0. 6687 увеличить , снизить ! организационно ? ? ? Это означает, что только 67% производственн ых ситуаций отвечают требованиям

Важный пример с обобщением Пусть X распределена нормально, = т. е. , вероятности 10, попасть в =4 интервал Тогда симметричный относительно ? Соответствует заштрихованной площади и равно вероятности отклонений от не более, чем на = 2

Общее правило Вероятность того, что (при измерении, управлении, производстве …) отклонение от (неизвестного истинного, предписанного … значения) в обоих направлениях не превысит максимально допустимого равна удвоенному значению функции Лапласа от « / стандартных отклонений»

Очевидно! определяет !!! шансы отклонений, превышающих заданное риск выйти за нормативные границы !

Примеры с важным обобщением = z = / = 1 2 (1) = 0. 6826 = 2 z = 2 68. 3% значений величины X P( X- < =2 ) = оказываются 0. 9545 в интервале ( - , + ) = 3 P( X- < ) = 0. 9973

99. 7% значений нормально распределенной величины попадают в интервал ( 3 ) Тогда P( X > 3 ) = 1 0. 9973 = 0. 0027 Вспомнив про уровень значимости, можно считать это невозможным событием только 27 из 10000 можно ожидать дальше от среднего, чем 3

«Правило трех сигм» The End Если СВ нормальна, абсолютное значение ее отклонений от среднего не превышает три сигмы The End В примере с производительностью: количество производимой за смену продукции может находиться в пределах от 100 до 220 шт.