6. Колебания и волны механические,

6. Колебания и волны механические, свободные э/магнитные, (собственные), э/механические вынужденные , периодические частота колебаний циклическая = 1/Т частота =2 /Т, (6. 1) s(t + T) = s(t), (6. 2)

гармонические колебания s(t) = A sin ( t + o), (6. 3) где - циклическая частота (6. 1), А = sмакс = const >0 – амплитуда колебаний, Ф(t) = ( t + o) – фаза колебаний, o =Ф(t = 0)–начальная фаза колебаний s(t) = A cos( t + 1), (6. 4) где 1 = o - /2

ds/dt = A cos ( t + o) = A sin ( t + o + /2), (6. 5) d 2 s/dt 2 = A 2 sin ( t + o) = A 2 sin ( t + + ), o (6. 6) d 2 s/dt 2+ = 0, 2 s (6. 7) s = A 1 sin t + A 2 cos t, (6. 8) А 1 и А 2 – произвольные постоянные интегрирования, A 2 = s(0), (6. 9)

s = A sin ( t + o), (6. 10) где - o=arctg. A 2/A 1, (6. 11) Ау = s = A sin ( t + o) Метод векторных диаграмм х(t) = A sin ( t + o), vx = dx/dt = vocos ( t + o), (6. 12)

ax = d 2 x/dt 2 = aosin ( t + o), (6. 13) где vo =А амплитуда скорости, ao=А 2 =vo амплитуда ускорения, (6. 14) m – масса материальной точки

Wk= ¼ m 2 A 2[1+ cos (2 t + 2 o)], (6. 17) W =Wk + Wn= ½ m 2 A 2 = const, (6. 20)

Линейный гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор Wn= ½ kx 2 (6. 26) Физический маятник J d 2 x/dt 2 = - mgd sin , (6. 27) - угол поворота маятника вокруг оси d =|OC|-расстояние от центра масс до оси J – момент инерции маятника при sin ,

Физический маятник = о sin ( t + o), (6. 29) о – амплитуда колебаний угла . Математический маятник Сложение гармонических колебаний s 1 = A 1 sin ( 1 t + 1), (6. 31) s 2 = A 2 sin ( 2 t + 2),

s = s 1 + s 2, А(t) = А 1(t) + А 2(t), s = A(t) sin Ф (t), (6. 32) [A(t)]2 =A 12 +A 22 +2 A 1 A 2 cos[Ф 2(t)–Ф 1(t)], (6. 33) где Ф 1(t)=( 1 t + 1) и Ф 2(t) = ( 2 t + 2) – фазы колебаний

Затухающие колебания (6. 49) b - положительный коэф. сопротивлен или где

Вынужденные колебания Fx(t)–периодическая функция времени s(t) = x 1(t) + x 2(t) s(t) x 2(t) Fx = Fоcos t, (6. 58) где Fо – амплитуда возмущающейся силы

при = р где o –циклическая частота свободных колебаний, р – резонансная циклическая частота Амакс =А( р) =Fo/(2 m )= Fo/(m 2), (6. 65) где = Т = 2 / - логарифмический декремент затухания

=const 0–коэффициент затухания, o – циклическая частота свободных незатухающих колебаний ( = 0), =1/ , время релаксации, Логарифмический декремент ( ) = ln(A 1/A 2) = T/ = 1/N, 6. 56) где N – число колебаний,

Волны в упругой среде Волны: продольные; поперечные; поверхностные Среда: Однородная, изотропная Уравнение волны t – to = l/v, (6. 68) где v - скорость волны

s = f (t – х/v), (6. 69) s = A sin[ (t – х/v) + o] = A sin( t – х/v + o) или s = A sin[2 t/T – 2 х/T v) + o], (6. 70) где А = const – амплитуда волны, =2 /Т –циклическая (круговая) частота волны, Т – период колебаний, o – начальная фаза, v – скорость,

Ф = ( t - х/v + o)–фаза плоской волны = v Т, – длина волны, волновое число k=2 /(v T)= /t, (6. 71) s = (r) f(t – r/v), (6. 72) где r - расстояние от центра волны до точки М среды; v - скорость волны s = A(r) sin[ t – kr + o], (6. 73) A(r) –амплитуда волны, o–начальная фаза в центре волны, Ф =( t - kr + o)– фаза сферической волны

волновое (6. 74) уравнение: где s – величина, характеризующая возмущение; 2 –оператор Лапласа - и 2 s + k 2 s = 0. (6. 75) Скорость продольной волны где К–модуль объемной упругости газа, – плотность газа

Энергия волны - плотность среды, d. Wk – кинетическая энергия всех частиц в малом объеме d. V с v 1 – скорость колебаний, где v–фазовая скорость волны в среде, - относительная деформация

wk + wп = ½ (v 12 + v 2 2), (6. 83) Принцип суперпозиции волн (6. 84) где si, vi и ai – значения смещения, скорости и ускорения Интерференция волн. Стоячие волны s 1 =A 1 sin( 1 t – k 1 r 1 + 1) =A 1 sin Ф 1, s 2 =A 2 sin( 2 t – k 2 r 2 + 2) = A 2 sin Ф 2, (6. 85)

s = s 1 + s 2 = A sin Ф, так как k = /v, где v-фазовая скорость, то для когерентных волн 1 = 2 = ,

и v 1 = v 2 =v A 2 =A 12+A 22+2 A 1 A 2 cos[k∙ -( 2 - 1)], (6. 89) D= (r 2 – r 1) – геометрическая разность хода волн от источников волн S 1 и S 2 до точки М,