6 Численное Дифференцирование и Интегрирование 6 1 Общие

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

6. Численное Дифференцирование и Интегрирование 6. 1. Общие сведения Дифференцирование и Интегрирование – основные операции в математике. Операторы: - операторы дифференцирования - операторы интегрирования (неопределенный интеграл) - определенный интеграл Зачем нужны численные методы дифференцирования и интегрирования Численное дифференцирование ? Обычно применяется в 2 -х случаях: 1) если некоторую функция f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, при табличном задании функции; 2) при численном решении дифференциальных уравнений, когда производные аппроксимируются алгебраическими соотношениями.

Методы интегрирования: 1. аналитические; 2. приближенные; 3. численные. Численное интегрирование ? Численное интегрирование используется в тех случаях, когда другие методы интегрирования невозможны или неэффективны. Операции дифференцирования и интегрирования основаны на понятиях бесконечно малого и бесконечно большого. Например, производная функции определяется как Для компьютера понятий бесконечно малого или большого нет. Например, Math. CAD: Символьные операции в Math. CAD

матанализ 6. 2. Численное дифференцирование В численных методах нет понятия бесконечного. Пусть некоторая функция f(x) задана таблично: Тогда производную на промежутке можно записать где - конечные значения Если мало, то погрешностью можно пренебречь и получить разностную формулу для производной точное значение (касательная) чес ри л ет с еом смы г кий Погрешность - численное значение (хорда)

Проблема погрешности численного дифференцирования Теоретически при 0 0 должно быть Это справедливо при точных значениях. В случае, когда табличные значения дифференцируемой функции получены с погрешностью (расчеты по сложным соотношениям, эксперимент), то численное дифференцирование может привести к значительному возрастанию этой погрешности. Уменьшение шага h только усугубит проблему. Что делать? 1) 2) Аппроксимируем эти данные методом со сглаживанием. Например, методом наименьших квадратов. Получим некоторую аналитическую функцию, которую можно дифференцировать. см. погрешность вычитания близких чисел! ация ксим о аппр МНК по исходные данные Дифференцирование в системе Math. CAD

6. 3. Численное интегрирование интегралы Интегрирование – операция отыскания неопределенные определенного или неопределенного интеграла от данной подынтегральной функции. определенные Неопределенный интеграл первообр а зная Первообразная F(x) может: «интеграл берется» • выражаться через конечное число элементарных функций; • не выражаться через элементарные функции. «интеграл не берется»

Примеры. 1. Интеграл берется подынтегральная функция ( + const ) первообразная 2. Интеграл не берется нет элементарных функций, через которые можно выразить первообразную. Но этот интеграл существует. Его, например можно выразить через специальные (неэлементарные) функции: альный интегр синус Можно найти приближенное значение через ряды: ьная специал я функци

Определенный интеграл подынтегральная функция я лы ни де ова е пр рир ег т н геометрический смысл и Например, Численно равен площади (с учетом знаков) sin(x) Методы расчета определенных интегралов: 1) 2) 3) аналитические; приближенные; численные рассмотрим далее

Простейшие численные методы расчета определенных интегралов 1. Интервал [a, b] разобьем на n частей – элементарных отрезков. Для упрощения выкладок полагаем, что шаг разбиения h постоянен и не равен 0. Получим разностную сетку с узлами Рассмотрим h тки узлы се a xo b x 1 x 2. . . xi xi+1 . . . ось x xn x 0, x 1, x 2, . . . , xn. 2. Рассмотрим но числен равен ди площа yi+1 yi xi xi+1 Аппроксимируем функцию f(x) на данном интервале более простой f(x), интеграл от которой легко найти: решение Вариантов такой аппроксимации много, рассмотрим самые простые. f(x)

Используем кусочно – постоянную аппроксимацию f(x) на [xi, xi+1] : 3. yi+1 yi yi xi xi+1 левосторонний прямоугольник 4. yi+1 yi xi xi+1 правосторонний прямоугольник xi xi+1 срединный сть погрешно метода Рассмотрим метод левосторонних прямоугольников yi+1 yi xi xi+1

f(x) расчетная формула левосторонних прямоугольников геометрическая интерпретация a b Погрешность метода ? погрешность Err i yi+1 точное значение расчетное yi xi xi+1

Оценка погрешности Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности т. xi Подставим это разложение в Получим сравним погрешность точное значение расчетное Или более грубая оценка Для всего интервала [a, b] Или -порядка h. Это метод 1 -го порядка точности.

5. Рассмотрим метод правосторонних прямоугольников Erri Для элементарного отрезка: yi+1 yi Для всего интервала [a, b] : xi расчетная формула правосторонних прямоугольников xi+1 f(x) геометрическая интерпретация Погрешность (без вывода) : a Это метод 1 -го порядка точности b x

6. Рассмотрим метод трапеций Erri yi+1 yi Используем линейную интерполяцию f(x) на [xi, xi+1]. Для элементарного отрезка: адь площ ии ец трап h xi Для всего интервала [a, b] : расчетная формула метода трапеций Погрешность (без вывода) : - метод 2 -го порядка точности xi+1

Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний) y f(x) Существует несколько вариантов данного метода. Рассмотрим a Построим прямоугольную область на плоскости x – y. В эту область случайным образом будем помещать точки. Доля случайных точек, попавших под кривую y=f(x), будет приблизительно равна отношению значения искомого интеграла к площади прямоугольника. Интегрирование в системе Math. CAD b x

Скачать презентацию 6 Численное Дифференцирование и Интегрирование 6 1 Общие

6 Дифференцирование и интегрирование.pptx

Количество слайдов: 14