6 流体流动微分方程基本内容 l掌握连续性方程及其推导 l熟悉Navier-Stokes方程 l了解Euler方程 1

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6 流体流动微分方程基本内容： l掌握连续性方程及其推导※ l熟悉Navier-Stokes方程 l了解Euler方程 1

控制体分析优点在于对定常流动，当已知控制面上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详细情况，给一些程问题的求解带来方便。缺点不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。 2

流体流动微分方程包括: l连续性方程 l运动方程连续性方程是流体质量守恒的数学描述。运动方程是流体动量守恒的数学描述。二者都是基于流场中的点建立的微分方程。 3

6. 1 ★连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。现取微元体如图。 z ρvx ρvy y x ρvz 4

输入微元体的质量流量：输出微元体的质量流量为： z ρvx ρvy x ρvz y 5

则输出与输入之差为：微元体内质量变化率为： 6

根据质量守恒原理有：或该式即为直角坐标系下的连续性方程。该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。 7

对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则连续性方程为不可压缩流体的连续性方程形式简单，应用广泛。很多可压缩流体的流动也可按常密度流动处理 8

在直角坐标系中可表示为 (柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动 9

例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向的速度分量为试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。 10

vy=y 2 -y-x 解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程由已知条件得积分得 11

根据边界条件x=0时vx=0代入上式得故有所以 12

例题：不可压缩流体的速度分布为 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求 A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。 13

解：由连续方程可知 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 则有又由于流动无旋，则有则有 14

练习：有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分速度为求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时， vz=2 y。 15

6. 2不可压缩粘性流体运动微分方程在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法向应力和切向应力如图所示。 16

y z әσyy ә yx σyy+ әy dy yx+ әy dy ә yz σzz zx ә xy yz+ әy dy xy+ әx dx әσxx xz ә zy zy fy σxx+ әx dx σxx zy+ әz dz ә xz fz fx xy xz+ әx dx ә zx dy zx+ әz dz yz dz әσzz σzz+ әz dz yx σ yy x dx 17

对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴方向的运动微分方程为 18

化简后得同理得 ——以应力表示的运动方程 19

将切应力和法向应力的关系式代入上式的第一式并整理得： 20

同理得其中 ——不可压缩粘性流体的运动微分方程，也叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程。 21

理想体γ=0 流理想流体欧拉运动微分方程 N-S方程定常流动欧拉平衡微分方程 24

N-S方程的矢量形式为 ① 各项意义为： ② ③ ④ ⑤ ①非定常项 ②对流项 ③单位质量流体的体积力 ④单位质量流体的压力差 ⑤扩散项或粘性力项 26

由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题时可用以应力表示的运动方程。 Navier-Stokes方程是不可压流体理论中最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方程。 27

6. 3基本微分方程组的定解条件 N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流动问题的特解。 28