Скачать презентацию 6 流体流动微分方程 基本内容 l掌握连续性方程及其推导 l熟悉Navier-Stokes方程 l了解Euler方程 1 Скачать презентацию 6 流体流动微分方程 基本内容 l掌握连续性方程及其推导 l熟悉Navier-Stokes方程 l了解Euler方程 1

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6 流体流动微分方程 基本内容: l掌握连续性方程及其推导※ l熟悉Navier-Stokes方程 l了解Euler方程 1 6 流体流动微分方程 基本内容: l掌握连续性方程及其推导※ l熟悉Navier-Stokes方程 l了解Euler方程 1

控制体分析 优点在于对定常流动,当已知控制面上流 动的有关信息后,就能求出总力的分量和平均 速度,而不必深究控制体内各处流动的详细情 况,给一些 程问题的求解带来方便。 缺点不能得到控制体内各处流动的细节, 而这对深入研究流体运动是非常重要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。 2 控制体分析 优点在于对定常流动,当已知控制面上流 动的有关信息后,就能求出总力的分量和平均 速度,而不必深究控制体内各处流动的详细情 况,给一些 程问题的求解带来方便。 缺点不能得到控制体内各处流动的细节, 而这对深入研究流体运动是非常重要的。 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。 2

流体流动微分方程包括: l连续性方程 l运动方程 连续性方程是流体质量守恒的数学描述。 运动方程是流体动量守恒的数学描述。 二者都是基于流场中的点建立的微分方程。 3 流体流动微分方程包括: l连续性方程 l运动方程 连续性方程是流体质量守恒的数学描述。 运动方程是流体动量守恒的数学描述。 二者都是基于流场中的点建立的微分方程。 3

6. 1 ★连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。 现取微元体如图。 z ρvx ρvy y x ρvz 4 6. 1 ★连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。 现取微元体如图。 z ρvx ρvy y x ρvz 4

输入微元体的质量流量: 输出微元体的质量流量为: z ρvx ρvy x ρvz y 5 输入微元体的质量流量: 输出微元体的质量流量为: z ρvx ρvy x ρvz y 5

则输出与输入之差为: 微元体内质量变化率为: 6 则输出与输入之差为: 微元体内质量变化率为: 6

根据质量守恒原理有: 或 该式即为直角坐标系下的连续性方程。 该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。 7 根据质量守恒原理有: 或 该式即为直角坐标系下的连续性方程。 该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。 7

对不可压缩流体,ρ=常数,有әρ/әt=0,则 连续性方程为 不可压缩流体的连续性方程形式简单,应用广泛。 很多可压缩流体的流动也可按常密度流动处理 8 对不可压缩流体,ρ=常数,有әρ/әt=0,则 连续性方程为 不可压缩流体的连续性方程形式简单,应用广泛。 很多可压缩流体的流动也可按常密度流动处理 8

在直角坐标系中可表示为 (柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动 9 在直角坐标系中可表示为 (柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动 9

例题:不可压缩流体的二维平面流动,y方向 的速度分量为 试求x方向的速度分量,假定x=0时,vx=0。 10 例题:不可压缩流体的二维平面流动,y方向 的速度分量为 试求x方向的速度分量,假定x=0时,vx=0。 10

vy=y 2 -y-x 解:不可压缩流体的平面运动满足连续性方程 由已知条件得 积分得 11 vy=y 2 -y-x 解:不可压缩流体的平面运动满足连续性方程 由已知条件得 积分得 11

根据边界条件x=0时vx=0代入上式得 故有 所以 12 根据边界条件x=0时vx=0代入上式得 故有 所以 12

例题:不可压缩流体的速度分布为 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 若此流场满足连续性方程和无旋条件,试求 A,B,C,D所满足的条件。不计重力影响。 13 例题:不可压缩流体的速度分布为 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 若此流场满足连续性方程和无旋条件,试求 A,B,C,D所满足的条件。不计重力影响。 13

解:由连续方程可知 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 则有 又由于流动无旋,则有 则有 14 解:由连续方程可知 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 则有 又由于流动无旋,则有 则有 14

练习: 有一个三维不可压流场,已知其x向和y向的分 速度为 求其z向的分速度的表达式。当x=0,z=0时, vz=2 y。 15 练习: 有一个三维不可压流场,已知其x向和y向的分 速度为 求其z向的分速度的表达式。当x=0,z=0时, vz=2 y。 15

6. 2不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团,作用在流体微元上的各法 向应力和切向应力如图所示。 16 6. 2不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团,作用在流体微元上的各法 向应力和切向应力如图所示。 16

y z әσyy ә yx σyy+ әy dy yx+ әy dy ә yz σzz y z әσyy ә yx σyy+ әy dy yx+ әy dy ә yz σzz zx ә xy yz+ әy dy xy+ әx dx әσxx xz ә zy zy fy σxx+ әx dx σxx zy+ әz dz ә xz fz fx xy xz+ әx dx ә zx dy zx+ әz dz yz dz әσzz σzz+ әz dz yx σ yy x dx 17

对流体微团应用牛顿第二定律,则沿x轴 方向的运动微分方程为 18 对流体微团应用牛顿第二定律,则沿x轴 方向的运动微分方程为 18

化简后得 同理得 ——以应力表示的运动方程 19 化简后得 同理得 ——以应力表示的运动方程 19

将切应力和法向应力的关系式 代入上式的第一式并整理得: 20 将切应力和法向应力的关系式 代入上式的第一式并整理得: 20

同 理 得 其中 ——不可压缩粘性流体的运动微分方程,也 叫Navier-Stokes方程,简称N-S方程。 21 同 理 得 其中 ——不可压缩粘性流体的运动微分方程,也 叫Navier-Stokes方程,简称N-S方程。 21

理想 体γ=0 流 理想流体 欧拉运动 微分方程 N-S方程 定常 流动 欧拉平衡 微分方程 24 理想 体γ=0 流 理想流体 欧拉运动 微分方程 N-S方程 定常 流动 欧拉平衡 微分方程 24

N-S方程的矢量形式为 ① 各项意义为: ② ③ ④ ⑤ ①非定常项 ②对流项 ③单位质量流体的体积力 ④单位质量流体的压力差 ⑤扩散项或粘性力项 26 N-S方程的矢量形式为 ① 各项意义为: ② ③ ④ ⑤ ①非定常项 ②对流项 ③单位质量流体的体积力 ④单位质量流体的压力差 ⑤扩散项或粘性力项 26

由于引入了广义牛顿剪切定律,故N-S方 程只适用于牛顿流体,处理非牛顿流体问题 时可用以应力表示的运动方程。 Navier-Stokes方程是不可压流体理论中 最根本的非线性偏微分方程组,是描述不可 压缩粘性流体运动最完整的方程,是现代流 体力学的主干方程 。 27 由于引入了广义牛顿剪切定律,故N-S方 程只适用于牛顿流体,处理非牛顿流体问题 时可用以应力表示的运动方程。 Navier-Stokes方程是不可压流体理论中 最根本的非线性偏微分方程组,是描述不可 压缩粘性流体运动最完整的方程,是现代流 体力学的主干方程 。 27

6. 3基本微分方程组的定解条件 N-S方程有四个未知数,vx、vy、vz和p,将N-S方 程和不可压缩流体的连续性方程联立,理论上可通过 积分求解,得到四个未知量。一般而言,通过积分得 到的是微分方程的通解,再结合基本微分方程组的定 解条件,即初始条件和边界条件,确定积分常数,才 能得到具体流动问题的特解。 28 6. 3基本微分方程组的定解条件 N-S方程有四个未知数,vx、vy、vz和p,将N-S方 程和不可压缩流体的连续性方程联立,理论上可通过 积分求解,得到四个未知量。一般而言,通过积分得 到的是微分方程的通解,再结合基本微分方程组的定 解条件,即初始条件和边界条件,确定积分常数,才 能得到具体流动问题的特解。 28

1. 初始条件 对非定常流动,要求给定变量初始时刻 t=t 0的空间分布 显然,对于定 常流动,不需 要初始条件。 29 1. 初始条件 对非定常流动,要求给定变量初始时刻 t=t 0的空间分布 显然,对于定 常流动,不需 要初始条件。 29

2. 边界条件 所谓边界条件,是包围流场每一条边界上的流场 数值。不同种类的流动,边界条件也不相同。流体流 动分析中最常遇到的三类边界条件如下: (1)固体壁面 粘性流体与一不渗透的,无滑移的固体壁面相接 触,在贴壁处,流体速度 若流体与物面处于热平衡态,则在物面上必须保持温 度连续 30 2. 边界条件 所谓边界条件,是包围流场每一条边界上的流场 数值。不同种类的流动,边界条件也不相同。流体流 动分析中最常遇到的三类边界条件如下: (1)固体壁面 粘性流体与一不渗透的,无滑移的固体壁面相接 触,在贴壁处,流体速度 若流体与物面处于热平衡态,则在物面上必须保持温 度连续 30

(2)进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通 常也是需要知道的,如管流。 (3)液体-气体交界面的边界条件主要有两个: 运动学条件,即通过交界面的法向速度应相等。 压强平衡条件,即液体的压强必须与大气压和表 面张力相平衡。 31 (2)进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通 常也是需要知道的,如管流。 (3)液体-气体交界面的边界条件主要有两个: 运动学条件,即通过交界面的法向速度应相等。 压强平衡条件,即液体的压强必须与大气压和表 面张力相平衡。 31

根据这些初始条件和边界条件,我们可对 基本微分方程组积分,并确定积分常数,得到 符合实际流动的求解结果。 但实际上,只有极少数的问题可求出理论 解,通常采用数值解法。 32 根据这些初始条件和边界条件,我们可对 基本微分方程组积分,并确定积分常数,得到 符合实际流动的求解结果。 但实际上,只有极少数的问题可求出理论 解,通常采用数值解法。 32

例题:不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水 平板间作定常层流流动,假定流体沿流动方向 的压强降已知,求: (1)两板固定不动; (2)下板固定上板以等速U沿流动方向运动; 两板间流体运动的速度分布。 y 流向 b x 33 例题:不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水 平板间作定常层流流动,假定流体沿流动方向 的压强降已知,求: (1)两板固定不动; (2)下板固定上板以等速U沿流动方向运动; 两板间流体运动的速度分布。 y 流向 b x 33

解:由于流体水平运动,则有 由于流动是一维的,有vy=vz=0; 由于流动是定常的,有 34 解:由于流体水平运动,则有 由于流动是一维的,有vy=vz=0; 由于流动是定常的,有 34

水平流动、一维、稳态流动 35 水平流动、一维、稳态流动 35

所以N-S方程可简化为 由连续方程可得 36 所以N-S方程可简化为 由连续方程可得 36

将式(3)代入式(1)得 思考题:为什么上式右端偏导数改写成全导数? 对上式进行两次积分可得 37 将式(3)代入式(1)得 思考题:为什么上式右端偏导数改写成全导数? 对上式进行两次积分可得 37

下面根据两种情况下的不同边界条件来 确定常数C 1,C 2。 (1)两板固定不动 这时的边界条件为 代入式(5)可得 38 下面根据两种情况下的不同边界条件来 确定常数C 1,C 2。 (1)两板固定不动 这时的边界条件为 代入式(5)可得 38

于是得速度分布 (2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为 39 于是得速度分布 (2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为 39

代入式(5)可得 于是得速度分布 40 代入式(5)可得 于是得速度分布 40