Скачать презентацию 5 Знакочередующиеся ряды П 1
5 знакочеред ряды от 2008.ppt
- Количество слайдов: 10
§ 5 Знакочередующиеся ряды.
П 1. Основные понятия. Ряд Лейбница. Определение 5. 10. Числовой ряд называется знакочередующимся, если все элементы его поочередно меняют знак: - +…(-1) +… , где - числа одного знака. Запись , > 0 Так как знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда, то для него также имеют место условная и абсолютная сходимости. Но исследование на сходимость проводится и с помощью специального признака:
Теорема 5. 17. Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2) = 0 , то ряд сходится, а его сумма S не превосходит первого элемента, т. е. S Доказательство 1. Рассмотрим четную частичную сумму ( заключим каждую пару слагаемых в скобки): =
т. к. (по условию), то неубывающая последовательность частичных сумм. 2. Перепишем S 2 n=a 1 -(a 2 -a 3)-(a 4 -a 5)-……-(a 2 n-2 -a 2 n-1) из данного неравенства следует, что S 2 n
Определение 5. 11: Ряд, удовлетворяющий признакам теоремы 5. 1 называется рядом Лейбница. Следствие: Остаток ряда Лейбница удовлетворяет неравенству: Доказательство: Т. к. rn = (-1)n(an+1 -an+2+an+3…. ), т. е. этот ряд удовлетворяет теореме Лейбница. Пример 5. 14: Исследовать на сходимость Решение. а) Так как ряд знакочередующийся, то проверим его на выполнение условий теоремы Лейбница:
1) lim an=0. 2) . в) Как сходится? Абсолютно Найдём сумму с точностью . Это значит что Тогда Пример 5. 15. Исследовать на сходимость ряд . .
П 2. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. 1. Если ряды с элементами an и bn сходятся абсолютно к А и B соответственно , то ряд также сходится абсолютно к S=A+B. 2. Если ряд сходится абсолютно к А , то ряд сходится абсолютно к S=с. A 3. Пусть ряд абсолютно сходится к А , а ряд сходится абсолютно к В, тогда произведение этих рядов сходится к сумму S=AB. 4. Если ряд сn сходится условно, то ряды составленные только отдельно из отрицательных и положительных элементов расходятся.
Мы знаем, что сумма конечного числа слагаемых не зависит от перестановки этих слагаемых, а если бесконечное число слагаемых ? Ответ дает следующая теорема. Теорема (Римана) 5. 18 : Если ряд сходится условно , то для любого наперёд заданного числа А существует перестановка членов ряда такая, что сумма полученного ряда равна А. Т. е. перестановка членов условно сходящегося ряда недопустима! Проиллюстрируем данные утверждения на примере ряда …. . Это - ряд Лейбница. Очевидно , что
Перепишем ряд в виде: , т. е S 3S 3. Получили противоречие, что и доказывает справедливость теоремы.
Презентацию подготовила Шабан Владислава Гр. 722402 Следующая презентация