Скачать презентацию 5 Вычисление пределов функции П 1 Простейшие Скачать презентацию 5 Вычисление пределов функции П 1 Простейшие

МА_8-ПР.pptx

  • Количество слайдов: 8

§ 5. Вычисление пределов функции П. 1. Простейшие случаи раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. § 5. Вычисление пределов функции П. 1. Простейшие случаи раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. При вычислении пределов функции в точке или на бесконечности необходимо подставить в функцию число, к которому в пределе стремится переменная. Если получается конечное число, то предел равен этому числу. Но мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда при подстановке числа, к которому стремится переменная, в пределе получается неопределенное значение. К неопределенностям относятся:

П. 2. Первый замечательный предел. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Теорема 5. 1. П. 2. Первый замечательный предел. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Теорема 5. 1. Справедливо равенство (первый замечательный предел). Следствие: Справедливо равенство.

Сравнение бесконечно малых функций Пусть даны две бесконечно малые при x→с функции и (x). Сравнение бесконечно малых функций Пусть даны две бесконечно малые при x→с функции и (x). Если , то говорят, что – (x) бесконечно малая величина более высокого порядка, чем так как она (x), стремится к нулю быстрее, чем (x). Если , то говорят, что – (x) бесконечно малая величина более низкого порядка, чем так как она стремится к (x), нулю медленнее, чем (x).

Если , то говорят, что (x) и – бесконечно малые (x) величины одинакового Если , то говорят, что (x) и – бесконечно малые (x) величины одинакового порядка. Особенно выделяют случай, когда. Такие бесконечно малые называют эквивалентными бесконечно малыми и пишут, что при x→c (x)∾ Если не существует, то такие бесконечно малые называют несравнимыми.

Теорема 5. 2. Пусть при x→c функции (x), являются (x), 1(x), бесконечно малыми. При Теорема 5. 2. Пусть при x→c функции (x), являются (x), 1(x), бесконечно малыми. При этом если (x)∾ то 1(x), (x)∾ 1(x), , либо оба предела не существуют. Замечание. Эта теорема позволяет заменять при вычислении пределов бесконечно малые им эквивалентными. Пример: вычислить предел

Элементарные эквивалентные бесконечно малые функции при x→ 0, вытекающие из первого замечательного предела 1. Элементарные эквивалентные бесконечно малые функции при x→ 0, вытекающие из первого замечательного предела 1. sinx ∾ x 2. tgx ∾ x 3. arcsinx ∾ x 4. arctg x ∾ x 5. (1 -cos x) ∾ x 2/2

П. 3. Второй замечательный предел. Эквивалентные бесконечно малые, связанные со вторым замечательным пределом. Теорема П. 3. Второй замечательный предел. Эквивалентные бесконечно малые, связанные со вторым замечательным пределом. Теорема 5. 3. Справедливо равенство (второй замечательный предел). Следствие 1. Из второго замечательного предела вытекает равенство. Следствие 2. Справедливы следующие соотношения: 1) 3) ; ; 2) 4) ; .

Эквивалентные бесконечно малые, связанные со вторым замечательным пределом Выпишем все эквивалентные бесконечно малые при Эквивалентные бесконечно малые, связанные со вторым замечательным пределом Выпишем все эквивалентные бесконечно малые при x→ 0, связанные со вторым замечательным пределом: 1. ln(1+x) ∾ x; 2. ex-1 ∾ x; 3. ax-1 ∾ lna∙x; 4. (1+x)k-1 ∾ kx.