5. Приложения преобразования Фурье 1
5. Приложения преобразования Фурье 5. 1. Предсказание высоты прилива. 5. 2. Интерполяция рядами Фурье. 5. 3. Фурье-анализ в акустике. 5. 4. Фурье-анализ в задачах вибрации. 5. 5. Атомная спектроскопия. 2
5. Приложения преобразования Фурье § Монотонное постукивание колес поезда (звук) – периодическая функция. Бег спортсмена, вращение Земли, биение сердца – все это можно выразить периодические функциями от времени. Каждая из этих функций представима рядом Фурье, суммой синусоид и косинусоид – как их называют, гармоник. Если брать только аргументы этих тригонометрических функций, то получим спектр периодической функции. Представление периодических функций рядом Фурье и их преобразование для анализа частотных свойств оказалось очень полезным. Page 3
5. 1. Предсказание высоты прилива § Так, в конце XIX века лорд Кельвин на основе разложения в ряд Фурье построил аналоговое вычислительное устройство, которое позволяло оценивать высоту приливов. Вначале в конкретной гавани на протяжении года измеряли уровень моря и записывали соответствующие положения Солнца и Луны. По этим записям определяли параметры аналогового механического вычислителя, который выдавал приливные высоты в гавани как функцию от времени. § Выбор метода оказался удачным, таблицы высоты приливов были составлены для всех портов мира. Page 4
5. 1. Предсказание высоты прилива Аналоговый показатель приливов Феррела (усовершенствованная машина Кельвина). Вид сзади: устанавливались параметры вычислений. Вид спереди: результат – показывает верхний и нижний уровни прилива. Page 5
5. 2. Интерполяция рядами Фурье § Интерполирование – это приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или связанной с ней другой величиной. Проще говоря – это восстановление значений функции в точке, значение в которой неизвестно, по ее известным значениям в других точках. § Ряд Фурье можно применять для интерполяции, но интерполяция рядом Фурье строит приближенную функцию, которая не обязательно проходит по заданным точкам. § Рассмотрим пример. Page 6
5. 2. Интерполяция рядами Фурье § Пример. Интерполирование в декартовой системе § координат. Пусть задано 10 точек на плоскости, никакие две из которых не лежат на одной вертикальной прямой. Требуется построить гладкую кривую, проходящую «близко» от этих точек. § Множество точек P: § {0. 00, 2. 18}, {1. 22, 2. 48}, § § {1. 89, 2. 52}, {2. 55, 2. 32}, {3. 19, 2. 34}, {3. 71, 1. 79}, {5. 42, 1. 78}, {5. 06, 1. 45}, {5. 65, 2. 20}, {6. 28, 2. 18} – это координаты {xi, yi } , i=1, …, 10. Page 7
5. 2. Интерполяция рядами Фурье § Построим на этих точках кусочно-линейную функцию и разложим ее в ряд Фурье, полагая, что период Т функции равен длине всего отрезка определения, то есть приблизительно 2π, Т= 2π. График функции : Page 8
5. 2. Интерполяция рядами Фурье § Разложим эту функцию в частичный ряд Фурье, с 7 слагаемыми, получим приближение с графиком Page 9
5. 2. Интерполяция рядами Фурье § Если рассмотреть этот результат в полярных координатах, то и там интерполяция будет не лучше. Рассматривая xi как угол θi, а yi как радиус ri, получаем график Page 10
5. 2. Интерполяция рядами Фурье § При этом коэффициенты разложения быстро убывают с увеличением индекса, что означает, что ряд Фурье скорее всего сходится. Получено разложение (7 слагаемых, 6 значащих цифр в каждом) : y(x) = § 2. 16076 – -0. 0379978 Cos[x] +0. 640706 Sin[x] - -0. 0768362 Cos[2 x] +0. 111259 Sin[2 x] + +0. 138096 Cos[3 x] -0. 0311125 Sin[3 x] + +0. 0527770 Cos[4 x] +0. 0193192 Sin[4 x] - - 0. 0501658 Cos[5 x] +0. 0035071 Sin[5 x] + +0. 0244504 Cos[6 x] -0. 00192247 Sin[6 x] Page 11
5. 2. Интерполяция рядами Фурье § Увеличение числа слагаемых до 50 не дает улучшения результата. График этого разложения : Page 12
5. 3. Фурье-анализ в акустике § Ухо человека слышит звук, который представляет собой сигнал во временной области. Этот сигнал представлен незначительными уплотнениями и разряжением упругой среды, состоящей из молекул воздуха. Упругость среды определяется силами притяжения и отталкивания молекул. Амплитуда – громкость звука обусловлена изменением плотности воздушной массы от внешнего воздействия. У тех, кто слышит более тихие звуки (амплитуда), ухо реагирует на более слабое изменение плотности воздуха. Высота звука соответствует скорости изменения плотности (частота колебаний). Page 13
5. 3. Фурье-анализ в акустике § У пассажиров самолета, набирающего высоту, уши чувствуют изменение плотности, но звука нет. Для того, чтобы ухо «услышало» звук, необходимо изменять плотность достаточно часто. Если бы самолет подымался и падал вниз с необходимой частотой, то это был бы генератор звука, который может услышать человек. § Таким образом, ухо человека воспринимает изменение плотности с некоторой частотой как высокий или низкий звук, а значение плотности воздуха – это громкость звука. Page 14
5. 3. Фурье-анализ в акустике § Таким образом, мозг получает сигналы из уха как звук определенной частоты (частота изменения плотности) и громкости – значение плотности воздуха (сжатыйразряженный). § Речь человека и звук вообще не является периодической функцией от времени, но исследовать эти сигналы можно на основе разложения в ряд Фурье и на основе преобразования Фурье, изучая спектр и спектральную плотность. § График, на котором изображены гармоники разложения звука в ряд Фурье, называют спектральным представлением звука или сонограммой. Page 15
5. 3. Фурье-анализ в акустике § Звуки Нота на гитаре Песня (стереозапись) Их спектры
§ 5. 3. Фурье-анализ в акустике Другими словами, сонограмма представляет собой диаграмму разложения звукового сигнала по гармоникам. При этом время, как обычно, изменяется по горизонтали, частота определяется периодом гармоники. Амплитуда гармоники указывает на вклад частоты в данный сигнал в текущий момент времени. Page 17
5. 3. Фурье-анализ в акустике § На диаграмме сигнал разложен на два слагаемых, а в третьем показан остаток - разность между входным сигналом и этими двумя слагаемыми. § Можно синтезировать сигнал, взять некоторое количество базисных функций ряда Фурье, сложить их в некоторыми весами и прослушать полученный звуковой сигнал. Именно таким способом создается компьютерная музыка. § Кроме того, можно исследовать спектральную плотность сигнала, полученной преобразованием Фурье и спектр сигнала, полученного разложением в ряд Фурье. Page 18
5. 3. Фурье-анализ в акустике § На основе преобразований спектральной плотности или спектра строят различные фильтры и эквалайзеры. Принцип их действия основан на изменений спектра, он состоит в следующем. Звуковой сигнал раскладывается на составляющие гармоники. Затем, в зависимости от режиссера звука, амплитуды составляющих изменяют, некоторые звуки приглушают (амплитуду приравнивают к малому числу или даже зануляют), другие усиливают. Такая процедура называется фильтрацией звукового сигнала. Мощность современных процессоров позволяет проводить фильтрацию в процессе исполнения в реальном времени, слушатель не замечает задержку на обработку звука. Page 19
5. 3. Фурье-анализ в акустике § Такое преобразования частот звукового сигнала применяют как для "технических нужд" (например, при очистке сигнала от ненужных постоянных шумов), так и для придания звучанию другой окраски. Разложение сигнала в гармоники, изменение амплитуд и обратный переход во временную область - операции трудоемкие, но современные быстрые алгоритмы (напр, быстрое дискретное преобразование Фурье) позволяют сделать это незаметно для слушателей. Следует помнить, что частотное изменение звука изменяет и тембр, наш слух очень чувствителен к изменениям тембра и исполнение женской арии может слышаться как жесткий мужской голос. Page 20
5. 3. Фурье-анализ в акустике § Кроме того, удаляя в звуковом сигнале шумы и частоты, недоступные уху человека, можно сжимать звуковой сигнал (музыкальные произведения) для архивирования. В случае музыкальных произведений сохраняют основную частоту и берут большое количество слагаемых ряда. Page 21
5. 4. Фурье-анализ в задачах вибрации § Вибрации в механических системах, содержащих вращающиеся части нежелательны, так как вызывают повреждения механизма. Большинство повреждений обуславливает частота вращения ротора механизма. Особенно опасны вибрации на частотах, близких к резонансным. § Практический анализ вибрации может выполняться разложением в ряд Фурье или преобразованием Фурье. § Вибрацию рассматривают как отклонение ротора от нормативной оси вращения в зависимости от времени. § Исследование спектра вибрации показало, что компоненты спектра этого сигнала (для ряда Фурье) или его спектральная плотность (для преобразования Фурье) содержит такие частоты: § § 1) Оборотная частота - частота вращения основного вала механизма; 2) Гармоники – частоты, кратные оборотной частоте, они превышают оборотную частоту в целое число раз (2, 3, 4, 5, …). Page 22
5. 4. Фурье-анализ в задачах вибрации § § 1) Оборотная частота - частота вращения основного вала механизма; § 3) Субгармоники - часть первой гармоники (1/2, 1/3, 1/4, … оборотной частоты вращения). § 4) Резонансные частоты - частоты собственных колебаний деталей механизма. При изменении скорости вращения вала они остаются при этом неизменными. Это критерий распознавания. § 5) Негармонические колебания – говорят о повреждении подшипников качения или зубчатых колес механизма. На спектре появляются характерные полосы – признак повреждения этих частей механизма. § 6) Другие (не рассматриваем). 2) Гармоники – частоты, кратные оборотной частоте, они превышают оборотную частоту в целое число раз (2, 3, 4, …). Page 23
§ § § 5. 4. Фурье-анализ в задачах вибрации Ухудшение состояния агрегата сопровождается увеличением амплитуд некоторых гармоник (ряд) или увеличением плотности отдельных интервалов спектра (преобр). Проблемы вибрации изучает специальный раздел механики, использующая кроме ортогональных разложений, другие математические и физические методы. Борьбой с вибрацией заняты лаборатории многих НИИ механики. Вибрация вызывает акустический шум и нарушает скрытность движения подводных аппаратов, вызывает явление флаттера (разрушает летательные аппараты). Page 24
5. 4. Фурье-анализ в задачах вибрации § Существуют и полезные приложения вибрации, например, анализ состояния здания можно провести, вызывая вибрацию его отдельных частей и изучая ее влияние на другие части конструкции. Для уплотнения материала (напр бетона) также используется вибрация. В музыке вибрация источника - основа звука музыкальных инструментов. § Для периодических вибраций главная методика изучения - разложение в ряд Фурье и преобразование Фурье. Page 25
5. 4. Фурье-анализ в задачах вибрации Page 26
5. 5. Атомная спектроскопия § Когда электрон совершает переход с одной орбиты атома на другую, он изменяет свою энергию. При этом за счет внешнего воздействия энергия может увеличиваться (электрон поглощает энергию) или уменьшаться (электрон выделяет энергию). §В случае массового выделения энергии электроны излучают сигнал (частицы), который может быть зафиксирован чувствительными приборами. §Преобр Фурье этого сигнала укажет разницу орбитальных уровней перехода (квантовая механика). Page 27
5. 5. Атомная спектроскопия § Аналогичное явление имеет место и для элементарных частиц ядра. Из двух частиц протон является положительно заряженной и выделение им энергии также может быть обнаружено приборами (при массовости явления). Нейтрон остается нейтрально заряженной частицей изменение в нем не вызывают изменение электромагнитных полей. При этом за счет внешнего воздействия энергия может увеличиваться (электрон поглощает энергию) или уменьшаться (электрон выделяет энергию). Под воздействием внешнего электромагнитного поля (далее ЭМПо) спины все протонов, облучаемых полем принимают одно из двух устойчивых положений: Page 28
5. 5. Атомная спектроскопия § В отсутствии внешнего ЭМПо спины протонов тела расположены разнонаправленно, их суммарное ЭМПо равно 0. Во внешнем ЭМПо спины большинства протонов тела расположены коллинеарно вектору этого поля, суммарное ЭМПо протонов не равно 0. Page 29
5. 5. Атомная спектроскопия § После прекращения воздействия внешнего ЭМПо спины протонов постепенно возвращаются в хаотическое состояние, суммарная напряженность ЭМПо протонов стремится к нулю. График изменения напряженности этого поля имеет вид: § В этом интервале времени спины протонов выделяют энергию в виде излучения, этот сигнал регистрирует прибор - спектрометр. Если применить к сигналу преобразование Фурье, то будет получена спектральная характеристика сигнала. Page 30
5. 5. Атомная спектроскопия § При излучении сигнала однородным телом, состоящим из атомов одного вещества напр из атомов водорода (атом водорода содержит один протон + один электрон), спектр сигнала будет соответствовать этому веществу. Вещество с другой атомной структурой будет иметь другой спектр, так как излучение, а значит и сигнал будут искажен воздействием других элементарных частиц, входящих в атом. Спектры различных химических элементов отличаются всплесками, соответствующими их составляющим и конкретным резонансным частотам, характерных для составляющих. § Кроме того, если атомы образуют молекулы, то на сигнал, излучаемый атомом, будут воздействовать «близко» расположенные к нему в молекуле другие атомы. Поэтому спектр сигнала от атомов конкретного элемента будет искажаться атомами других элементов, входящих в молекулу. Такое изменение резонансных частот элемента в молекуле называется химическим сдвигом.
5. 5. Атомная спектроскопия § Иногда химический сдвиг одного химического элемента позволяет по спектру однозначно определить наличие в исследуемом веществе молекул конкретного химического соединения. Бывают случаи, когда и теоретически, и практически различные химические соединения дают одинаковый химический сдвиг резонансных частот элемента. В этом случае однозначного ответа на вопрос о составе молекулы дать нельзя.
5. 5. Атомная спектроскопия § Пример. Числовые значения химических сдвигов химических соединении в разных фрагментах органических молекул. Page 33
5. 5. Атомная спектроскопия § Исследуемая область головного мозга.
5. 5. Атомная спектроскопия § Результат исследования. § Единичное преобразование Фурье сигнала (вверху). § Суммарное на основе 500 сканирований преобр Фурье с фильтрованными помехами (внизу).
5. 5. Атомная спектроскопия
Скачать презентацию 5 Приложения преобразования Фурье 1 5 Приложения
5_F transform Applications.ppt