5 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5 1 Окружность

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 1. Окружность Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности. В прямоугольной системе координат окружность с центром C(a; b) и радиусом r имеет уравнение (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Анимация ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЛИПСА

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 1. Уравнение эллипса Пусть М любая точка плоскости. Обозначим фиксированные точки F 1 и F 2. Эти точки называют фокусами эллипса, а середину отрезка F 1 F 2 – центром эллипса. Обозначим расстояние между фокусами через 2 c, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов – 2 a. Из свойств треугольника откуда

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 1. Уравнение эллипса Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси Ox симметрично относительно начала координат. y Найдём координаты фокусов: и x Пусть М(x, y) – произвольная точка эллипса.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 1. Уравнение эллипса Затем (после деления на 4) снова возведем в квадрат: Учтя, что для эллипса введем новое обозначение Тогда уравнение запишется Разделив это уравнение на получим: Такое уравнение эллипса называется каноническим.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 2. Форма эллипса 1. Эллипс симметричен относительно обеих координатных осей, т. к. его уравнение не меняется при замене х на (- х) и у на (- у). Таким образом, эллипс симметричен относительно точки О центра эллипса. 2. Найдём точки пересечения с осями координат. В 1(0, –b) и В 2(0, b) – точки пересечения с осью Oy А 1(–a, 0) и А 2(a, 0) – точки пересечения с осью Ox А 1, А 2, В 1, В 2 – вершины эллипса. Отрезки А 1 А 2 = 2 a и В 1 В 2= 2 b - большая и малая оси эллипса соответственно. Числа a и b – большая и малая полуоси эллипса.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 2. Форма эллипса M 3. и эллипс лежит внутри прямоугольника, образованного прямыми x= ± a и y= ± b. 4. Если |x| увеличивается, то |y| – уменьшается. Длина отрезка F 1 F 2 (равная 2 c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF 1 , MF 2 и их длины r 1, r 2 называются фокальными радиусами точки M. При a = b эллипс представляет собой окружность

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 3. Характеристики эллипса Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число Поскольку из определения эллипса следует, что a > c , то 0 < ε < 1. Эксцентриситет ε эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Зная эксцентриситет эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x; y):

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 3. Характеристики эллипса Определение. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса, расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/ε от него, называются директрисами эллипса.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс Пример. Составить уравнение эллипса при следующих условиях и найти недостающие параметры: Решение: большая полуось; малая полуось; каноническое уравнение искомого эллипса; фокусы эллипса; вершины эллипса; уравнение директрис эллипса.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 4. Свойства эллипса Фокальное свойство эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов, постоянна и равна 2 a. 2 a=AF 1+AF 2 =BF 1+BF 2

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 4. Свойства эллипса Директориальное свойство эллипса: отношение расстояния от любой точки эллипса до его ближайшего фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса:

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 4. Свойства эллипса Оптическое свойство эллипса: касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами точки касания равные острые углы. Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса луч света, то, отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет через другой фокус. Аналогичное явление происходит и при отражении звука. На этом последнем свойстве было основано устройство «галерей шепота» : два человека, стоящих в фокусах эллиптической галереи, могли переговариваться вполголоса, тогда как остальные посетители галереи их не слышали.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 5. Различные положения эллипса Если в уравнении b > a, то большая ось и фокусы этого эллипса лежат на оси Oy, а малая ось на оси Ox. Для этого эллипса фокусы имеют координаты F 1(0; –c) и F 2(0; c) , где y B 2 Кроме этого, F 2 x A 2 A 1 F 1 B 1 Фокальные радиусы точки M(x; y) находятся по формулам

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 2. Эллипс 5. 2. 5. Различные положения эллипса Уравнение эллипса с центром в точке имеет вид:

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Закрепим в фокусах А и В две разные по длине нити и свяжем свободные концы. Держа узел в руке, зацепим карандашом обе нити и будем двигать его так, чтобы нити оставались всегда натянутыми.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола. 5. 3. 1. Уравнение гиперболы Пусть М любая точка плоскости. Обозначим фиксированные точки F 1 и F 2. Эти точки называют фокусами гиперболы, а середину отрезка F 1 F 2 – центром гиперболы. Обозначим расстояние между фокусами через 2 c, а модуль разности расстояний от точек гиперболы до фокусов – 2 a. Из свойств треугольника откуда

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 1. Уравнение гиперболы Выберем систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси Ox симметрично относительно начала координат. y Найдём координаты фокусов: и x Пусть М(x, y) – произвольная точка эллипса.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 1. Уравнение гиперболы Затем (после деления на 4) снова возведем в квадрат: введем новое обозначение Учтя, что для гиперболы Тогда уравнение запишется Разделив это уравнение на получим: Такое уравнение гиперболы называется каноническим.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 2. Форма гиперболы 1. Гипербола симметрична относительно обеих координатных осей, т. к. его уравнение не меняется при замене х на (- х) и у на (- у). Таким образом, гипербола симметрична относительно точки О центра гиперболы. 2. Найдём точки пересечения с осями координат. точек пересечения с осью Oy нет А 1(–a, 0) и А 2(a, 0) – точки пересечения с осью Ox А 1, А 2 – вершины гиперболы. Пусть В 1(-b, 0) и B 2(b, 0). . Отрезки А 1 А 2 и В 1 В 2, а также их длины 2 a и 2 b – соответственно действительная и мнимая оси гиперболы. Числа a и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 2. Форма гиперболы Прямоугольник, образованный прямыми x=± a и y=± b называют осевым прямоугольником гиперболы. 3. то есть гипербола лежит вне полосы, образованной прямыми x= ± a. В силу симметричности относительно оси Oy, гипербола состоит из двух частей, называемых ветвями гиперболы.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 2. Форма гиперболы 4. Построим по явному уравнению часть гиперболы в первой четверти. В остальных четвертях кривая строится с учетом симметрии относительно координатных осей. Для части гиперболы, находящейся в первой четверти, явное уравнение имеет следующий вид:

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 2. Форма гиперболы Преобразуем явное уравнение гиперболы: откуда следует, что Т. о. , гипербола приближается к прямой

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 2. Форма гиперболы

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола Прямые называются асимптотами гиперболы. Длина отрезка F 1 F 2 (равная 2 c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF 1 , MF 2 и их длины r 1, r 2 называются фокальными радиусами точки M.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 3. Характеристики гиперболы Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется число Поскольку из определения гиперболы следует, что a < c , то ε > 1. Величина характеризует форму гиперболы. Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x; y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т. е. x > 0), то Если M лежит на левой ветке гиперболы (т. е. x < 0), то

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 3. Характеристики гиперболы Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы, расположенные симметрично относительно центра гиперболы на расстоянии a/ε от него, называются директрисами гиперболы.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола Пример. Составить уравнение гиперболы при следующих условиях и найти недостающие параметры: b=3; c=4. Решение: Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: действительная полуось гиперболы; уравнение искомой гиперболы. фокусы гиперболы; эксцентриситет гиперболы; вершины гиперболы; асимптоты гиперболы; уравнение директрис гиперболы.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 4. Свойства гиперболы Фокальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фокусов, постоянна и равна 2 a. 2 a=AF 1 -AF 2 =BF 2 -BF 1

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 4. Свойства гиперболы Директориальное свойство гиперболы: отношение расстояния от любой точки гиперболы до его ближайшего фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 4. Свойства гиперболы Оптическое свойство гиперболы: касательная в любой точке гиперболы образует с фокальными радиусами точки касания равные острые углы. Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 5. Различные положения гиперболы Уравнение эллипса с центром в точке имеет вид:

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 5. Различные положения гиперболы Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 были на одинаковом расстоянии от O(0; 0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид y F 2 b. B 2 Такая гипербола называется сопряженной. Для этой гиперболы: действительная ось – ось Oy, мнимая ось – ось Ox, F 1(0; –c) и F 2 (0; c). a a B 1 F 1 x

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 5. Различные положения гиперболы Очевидно, что сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола 5. 3. 5. Различные положения гиперболы Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной гиперболы перпендикулярны. Для равнобочной гиперболы всегда можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет иметь вид

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 3. Гипербола Пример. Построить кривую, заданную уравнением Решение: Это равнобочная гипербола, ее асимптотами являются биссектрисы координатных углов. Вершины гиперболы А 1(0; -2), А 2(0; 2) лежат на оси Оу. Фокусы гиперболы расположены на той же оси, на которой находятся ее вершины. откуда следует, что -2 2

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола 5. 4. 1. Уравнение параболы Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки F, называемой фокусом, и прямой L, называемой директрисой. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола 5. 4. 1. Уравнение параболы Получим уравнение параболы. Выберем систему координат так, чтобы начало координат находилось посередине между фокусом и директрисой, а ось Oy была параллельна директрисе. Тогда фокус имеет координаты Пусть М(x, y) – произвольная точка параболы. Такое уравнение параболы называется каноническим.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола 5. 4. 2. Форма и характеристики параболы Исследуем форму параболы Кривая симметрична относительно оси ОХ и проходит через начало координат. Для ее ветви в верхней полуплоскости при у > 0 уравнение имеет вид: Ветвь параболы в нижней полуплоскости при у < 0 получается отражением относительно оси абсцисс. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы. Число p называется параметром параболы

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола 5. 4. 2. Форма и характеристики параболы Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково. y F l p x (– 0, 5 p; 0) Тогда получим для параболы уравнение Директриса и фокус имеют следующие уравнения; F(– 0, 5 p; 0) и ℓ : x – 0, 5 p = 0.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола 5. 4. 2. Форма и характеристики параболы Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы. Тогда уравнение параболы будет иметь вид y x 2 = 2 py y l p F F p x x l F(0; 0, 5 p) и ℓ : y= – 0, 5 p. x 2 = 2 py F(0; – 0, 5 p) и ℓ : y = 0, 5 p.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола Пример. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат при условии F(3; 0) и найти недостающие параметры (уравнение директрисы, параметр). Решение: Фокус параболы лежит на положительной полуоси OX, следовательно, уравнение параболы имеет вид Так координаты фокуса то откуда Искомое уравнение параболы Уравнение директрисы

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола 5. 4. 3. Свойства параболы Фокальное свойство параболы: парабола есть геометрическое место точек, расстояния от которых до фокуса и директрисы равны между собой. L 1 AL 1=AF AL 2=AF L 2 Директориальное свойство параболы: парабола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и равно единице.

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола 5. 4. 3. Свойства параболы Оптическое свойство параболы: касательная в любой точке параболы образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и положительным направлением оси абсцисс. Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса F, отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике Анимация ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ АНТЕННА

5. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5. 4. Парабола — это множество центров окружностей, касающихся данного круга и данной прямой, касающейся этого круга.

История кривых второго порядка Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (IV в. до н. э. ). Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце IV в. до н. э. , были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые «Конические сечения» Аполлония Пергского, которые сохранились до нашего времени. Аполлоний, варьируя угол наклона секущей плоскости, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

История кривых второго порядка В своих построениях Аполлоний использовал двуполостной круговой конус, поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса

История кривых второго порядка Существуют и вырожденные случаи конических сечений. Они появляются в тех случаях, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. Если наклон плоскости к оси конуса больше, чем наклон образующей к оси, то сечением является точка – вершина конуса. Если эти углы совпадают, то есть секущая плоскость касается конуса, то коническим сечением будет одна прямая. Наконец, в случае, когда угол наклона секущей плоскости меньше, она пересекает конус по двум прямым.

История кривых второго порядка Эллипс Окружность Парабола Гипербола