5 Дифференциальные уравнения второго порядка 5

§ 5 Дифференциальные уравнения второго порядка § 5. 1 Общие положения

Решение ДУ 2 -го порядка называется функция , непрерывная на некотором интервале и имеющая там производные y’ и y’’, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество График решения называется интегральной кривой

y 4 0 1 x

Решим задачу отыскания частного решения уравнения по начальным условиям

Вывод: Геометрически общее решение – это семейство парабол. n Так как это семейство зависит от двух произвольных постоянных, то через каждую точку плоскости проходит бесконечно много парабол, имеющих различные касательные в этой точке. n

n Для выделения одной параболы из семейства кроме координат точки, через которую проходит искомая парабола, нужно задать еще угловой коэффициент касательной к интересующей параболе в этой точке.

Общим решением уравнения называется функция зависящая не только от переменной x, но и от двух произвольных констант и такая, что: 1) она является решением уравнения 2) при любых допустимых начальных условиях такие, что функция будет удовлетворять этим начальным условиям.

Задача отыскания решения уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши

Теорема: (о существовании и единственности решения задачи Коши) Если функция и ее частные производные непрерывны в некоторой области D, содержащей точку то существует и притом единственно решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

n Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через заданную точку (x 0, y 0) плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y’ 0 касательной в этой точке.

Замечание о дифференциальном уравнении n –го порядка

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком найвысшей производной, входящей в это уравнение график решения называется интегральной кривой данного уравнения. n дифференциальное уравнение задаёт семейство интегральных кривых на плоскости. n Для выделения одной кривой из семейства достаточно задать начальные условия n

n Задача Коши – задача нахождения частного решения по начальным условиям (число которых равно порядку дифференциального уравнения).

Теорема: (о существовании и единственности решения задачи Коши) Если функция и ее частные производные непрерывны в некоторой области D, содержащей точку то существует и притом единственно решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

y= (x, C 1 , C 2 , …, Cn) общее решение дифференциального уравнения – это функция , которая зависит от n произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения и такая, что: n а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях призвольных констант n

б) каковы бы ни были начальные условия можно найти единственные значения такие, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

§ 5. 2 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема 1: (Свойство решений однородного уравнения) Если и - два частных решения уравнения (2), то их линейная комбинация - также частное решение однородного уравнения

Доказательство: решение – это функция, которая обращает уравнение в тождество

Сгруппируем слагаемые

Определение: Функции и линейно независимыми, если называются Теорема 2: (о структуре общего решения линейного однородного уравнения) Если и - два линейно независимых частных решения уравнения (2), то их линейная комбинация да ет общее решение линейного однородного уравнения.

Определение: линейно независимые решения y 1 (x), y (x) однородного уравнения 2 образуют фундаментальную систему решений

Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения Сначала находится общее решение соответствующего однородного уравнения. n Затем в формуле общего решения предполагается, что постоянные С 1 и С 2 являются неизвестными функциями независимой переменной x (говорят, что постоянные варьируются, изменяются). n

Подберем функции С 1(x) и C 2(x) так, чтобы n Тогда

Подставляя выражения для y, y’ и y’’ в исходное уравнение, получим

Сгруппируем слагаемые

Поскольку y 1 (x), y (x) - решения 2 однородного уравнения, то выражения в квадратных скобках равны нулю, поэтому

Вывод: функции С 1(x) и C 2(x) найдутся как решение системы

Так как функции y 1(x), y 2(x) образуют фундаментальную систему решений (то есть они линейно независимые решения однородного уравнения), то n система имеет единственное решение:

Проинтегрировав полученные функции, мы найдём С 1(x) и C 2(x)

Пример.

В формуле общего решения однородного уравнения варьируем произвольные постоянные

Функции и называются линейно независимыми, если Теорема 2: (о структуре общего решения линейного однородного уравнения) Если и - два линейно независимых частных решения уравнения (2), то их линейная комбинация да ет общее решение линейного однородного уравнения.

Метод Эйлера решения однородного уравнения

Метод Эйлера

- линейно независимы

- линейно независимы

- линейно независимы

Решение неоднородного уравнения Теорема 3: (о структуре общего решения неоднородного уравнения) Общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного где - частное решение уравнения (1)

Нахождение правой части в случае специальной где - число корней характеристического уравнения равных нулю - многочлен той же степени, что и коэффициентами , но с неопределенными

где r – число корней характеристического уравнения равных. - многочлен той же степени, что и неопределенными коэффициентами , но с

Определить структуру общего решения

Теорема 4: (о суперпозиции решений) Если правая часть уравнения представляет собой сумму: а и - частные решения уравнения функция решением уравнения - является частным

Определить структуру общего решения

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применим принцип суперпозиции

Общее решение исходного уравнения запишется в виде:

Метод Лагранжа (метод вариации) Пусть и - фундаментальная система решений однородного уравнения (4), тогда общее решение однородного уравнения Пусть и - некоторые функции. Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

Неизвестные из системы и определяются Эта система всегда имеет единственное решение в силу линейной независимости функций и Интегрируя, получим