5 -1 Универзитет Св Кирил и Методиј Економски

5 -1 Универзитет “Св. Кирил и Методиј” Економски факултет - Скопје СТАТИСТИКА ЗА БИЗНИС И ЕКОНОМИЈА трето издание Проф. д-р Славе Ристески Асист. м-р Драган Тевдовски

5 -2 Глава 5 Статистички примерок

5 -3 5 Преглед Избор на примерок l Видови примероци l Статистика на примерокот l Распоред на аритметичките средини на примероците l Распоред на пропорциите на примероците l

5 -4 5 Цели на учењето По учењето на оваа глава, вие треба да бидете способни: § Да ги распознавате различните примероци според начинот на избор. § Да креирате прост случаен примерок. § Да знаете кога и како се користи стратификуваниот примерок. § Да ги познавате карактеристиките на примерокот на целини, повеќеетапниот примерок и на систематскиот примерок. § Да ја објасните поврзаноста помеѓу параметар на масата и статистика на примерок.

5 -5 Статистички примерок Популација Репрезентативен дел на масата, во кого набљудуваната карактеристика се појавува приближно исто како и во целата маса

5 -6 Статистички примерок Зошто примерок? Пописот може да биде: Невозможен (статистичката маса е неограничена) ü Непрактичен (оштетување или уништување на единиците) ü Големи трошоци ü Повеќе време ü Примерокот може да биде поефикасен и поекономичен од пописот.

5 -7 5. 1 Избор на примерок Според начинот на избор Случајни (пробабилистички) Ако при изборот на единиците во примерокот секоја единица има однапред позната веројатност да биде избрана. * Непристрасен и објективен * Случајна грешка. Намерни (непробабилистички) ü Примерок заснован на субјективниот суд ü Квота-примерок ü Погоден примерок

5 -8 5. 2 Видови примероци Прост случаен примерок Стратификуван примерок Примерок на целини и повеќеетапен примерок Систематски примерок

5 -9 5. 2. 1 Прост случаен примерок - ако при изборот на единиците во примерокот секоја единица на основната маса има еднаква веројатност да биде избрана. Од основната маса со големина N извлекуваме примероци, така што секој примерок се состои од n елементи и има еднаква веројатност да биде избран. Избор без повторување Избор со повторување

5 -10 5. 2. 1 Прост случаен примерок Избор без повторување Број на сите различни примероци со големина n кои што можат да се изберат од основната маса со големина N: Секој примерок има подеднаква веројатност при изборот, која е еднаква на: Сукцесивните избори се статистички зависни.

5 -11 5. 2. 1 Прост случаен примерок Инвеститор сака да состави портфолио од 2 акции. При тоа за вклучување во портфолиото тој во предвид ги зема само 5 -те најликвидни акции на Македонската берза, акциите на: Комерцијална банка, Алкалоид, Макпетрол, Европа и Топлификација. Колку различни портфолиа можат да се состават? Колкава е веројатноста на секое портфолио? Колкава е веројатноста на секој елемент кои се вклучува во портфолиото? Комерцијална Алкалоид Макпетрол Европа Топлификација

5 -12 5. 2. 1 Прост случаен примерок Комерцијална Алкалоид Макпетрол Европа Топлификација Комерцијална Алкалоид Макпетрол Европа Топлификација Алкалоид Макпетрол Европа Топлификација Макпетрол Европа Прв елемент= Втор елемент= Макпетрол Топлификација Европа Топлификација

5 -13 5. 2. 1 Прост случаен примерок Избор со повторување Број на сите различни примероци со големина n кои што можат да се изберат од основната маса со големина N: Секој примерок има подеднаква веројатност при изборот, која е еднаква на: Сукцесивните избори се статистички независни.

5 -14 5. 2. 1 Прост случаен примерок од бесконечна маса е примерок во кого сите опсервации се меѓусебно независни. Простиот случаен примерок со повторување извлечен од конечна маса е еквивалентен со простиот случаен примерок извлечен од бесконечна маса.

5 -15 Контролирани примероци Секоја единица има позната, но не задолжително и еднаква веројатност на избор во примерокот. Стратификуван примерок Примерок на целини и повеќеетапен примерок Систематски примерок

5 -16 5. 2. 2 Стратификуван примерок Кога основната маса е мошне хетерогена во смисла на нагласена издиференцираност (варијабилност) на белезите. Се засновува на претходна поделба на основната маса на стратуми (според степенот на хомогеноста). Стратификуваниот примерок претставува унија на прости случајни примероци, а секој од нив е избран од по еден стратум. Големината на примерокот може да биде пропорцијална на големината на стратумот или може да биде сразмерна на степенот на варијабилноста на набљудуваната карактеристика Популација

5 -17 5. 2. 3 Примерок на целини и повеќеетапен примерок Во случаи кога: ü Основната маса е многу голема, ü Не располагаме со список за сите единици на масата, ü Не можеме да ги идентификуваме единиците. Прост примерок на целини Двоетапен примерок Троетапен примерок

5 -18 5. 2. 4 Систематски примерок Случаен примерок кај кого изборот на елементите го вршиме по некој систематски ред, поаѓајќи од случајно избран почеток. За да избереме систематски примерок со големина n oд основна маса со големина N, потребно е да формираме список на сите единици со редни броеви. Потоа го одредуваме интервалот од кого по случаен пат (со таблица за случајни броеви) го бираме првиот елемент на примерокот. Примерокот го сочинуваат елементите со следните редни броеви:

5 -19 5. 3 Статистика на примерокот ПАРАМЕТАР НА МАСАТА претставува дескриптивна мерка која се пресметува врз основа на вредностите на сите единици на основната маса (Параметарот е константа). СТАТИСТИКА НА ПРИМЕРОКОТ претставува дескриптивна мерка која се пресметува врз основа на вредностите на елементите на примерокот (Статистиката на примерок е случајна променлива).

5 -20 5. 3 Статистика на примерокот Аритметичка средина на популацијата (М) Распоред на фреквенции на популацијата X X X X X Елементи на примерокот Аритметичка средина на примерокот ( )

5 -21 5. 4 Распоред на аритметичките средини на примероците Основната маса од пет елементи ја сочинуваат работници со следниот број на членови во семејствата: A Б В Г Д 1 2 3 4 5

5 -22 5. 4. 1 Распоред на аритметичките средини на примероците СО ПОВТОРУВАЊЕ Да претпоставиме дека од одновната маса извлекуваме прости случајни примероци од 2 елементи и дека изборот го вршиме со повторување

5 -23 Примероци со повторување (N=5, n=2) A Б В Г Д А (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) Б (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) В (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) Г (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) Д (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)

5 -24 Аритметички средини на сите k примероци со повторување A Б В Г Д А Б 1, 0 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 В Г Д 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 4, 0 4, 5 5, 0

5 -25 Распоред на аритметичките средини на примероците СО ПОВТОРУВАЊЕ Аритметичка средина на примерокот Број на примероци 1, 0 1 1, 5 2 2, 0 3 2, 5 4 3, 0 5 3, 5 4 4, 0 3 4, 5 2 5, 0 1 25

5 -26 Распоред на аритметичките средини на примероците СО ПОВТОРУВАЊЕ Аритметичка средина на примерокот Веројатност 1, 0 0, 04 1, 5 0, 08 2, 0 0, 12 2, 5 0, 16 3, 0 0, 20 3, 5 0, 16 4, 0 0, 12 4, 5 0, 08 5, 0 0, 04 1, 00

5 -27 Распоред на аритметичките средини на примероците СО ПОВТОРУВАЊЕ

5 -28 5. 4. 2 Распоред на основната маса и распоред на аритметичките средини на примероците ЦЕНТРАЛНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА Ако основната маса има распоред со произволен облик, со аритметичка средина M и варијанса , распоредот на аритметичките средини на сите прости случајни примероци со големина n ќе тежи кон нормалниот распоред, со аритметичка средина M и варијанса.

5 -29 Централна гранична терорема

5 -30 5. 4. 1 Распоред на аритметичките средини на примероците БЕЗ ПОВТОРУВАЊЕ Да претпоставиме дека од одновната маса извлекуваме прости случајни примероци од 2 елементи и дека изборот го вршиме со повторување

5 -31 Распоред на аритметичките средини на примероците БЕЗ ПОВТОРУВАЊЕ Аритметичка средина на примерокот Број на примероци 1, 5 1 2, 0 1 2, 5 2 3, 0 2 3, 5 2 4, 0 1 4, 5 1 10

5 -32 Распоред на аритметичките средини на примероците БЕЗ ПОВТОРУВАЊЕ

5 -33 Распоред на аритметичките средини на примероците БЕЗ ПОВТОРУВАЊЕ Аритметичка средина на примерокот Веројатност 1, 5 0, 1 2, 0 0, 1 2, 5 0, 2 3, 0 0, 2 3, 5 0, 2 4, 0 0, 1 4, 5 0, 1 1, 0

5 -34 5. 5 Распоред на пропорциите на примероците