§ 4 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Ряды вида ; ; не являются знакоположительными. • Определение 4. 7 Ряды называются знакопеременными, если среди его элементов есть как положительные, так и отрицательные (иx может быть бесконечное множество).
• Для знакопеременных рядов рассматривают 2 вида сходимости: абсолютную и условную. (Ряд называется сходящимся, если существует и конечен предел его частичных сумм).
• Определение 4. 8 Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится и ряд, составленный из абсолютных величин его элементов т. е.
• Определение 4. 9 Если знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то он называется условно или не абсолютно сходящимся.
• Теорема 4. 13 Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Доказательство основано на том факте, что последовательность частичных сумм сходящегося ряда является последовательностью Коши
• Последовательность Коши- это сходящаяся в себе последовательность т. е для любого числа n>0 можно указать N, что при n > N и выполняется неравенство или
Имеются достаточные признаки абсолютной сходимости знакопеременных рядов.
• Теорема 4. 14 Признак сравнения. Если для рядов и ( верно неравенство и ряд то знакопеременный ряд абсолютно. сходится, сходится
• Теорема 4. 15 (признак Д , Аламбера) Пусть для ряда существует предел Тогда если - ряд сходится абсолютно, - ряд расходится. Без доказательства
• Теорема 4. 16. (Признак Коши) Пусть для ряда верно соотношение , тогда, если L<1 ряд сходится абсолютно , если L>1 ряд расходится.
üПример 4. 13. Исследовать на сходимость ряд. .
ü 1)Ряд Решение сходится (признак сравнения ). 2)Так как и ряд сходится (пр. Д Аламбера). 3)Тогда исходный ряд сходится абсолютно.
Скачать презентацию 4 Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость
4_Знакопеременные_ряды 2010.ppt