4 Векторная оптимизация 4 1 Постановка задачи

4. Векторная оптимизация

4. 1. Постановка задачи векторной оптимизации D- множество допустимых решений, F(x) – векторная функция векторного аргумента. F(x)={f 1(x), f 2(x), … , fk(x) }

Иначе можно (5) переписать в виде: (5) не принадлежит классу задач МП, т. к. в МП одна целевая функция векторного аргумента. Задача векторной оптимизации в общем случае не имеет строгого решения. Многокритериальная задача имеет набор субоптимальных решений по каждому критерию. Для решения этой задачи сужается множество допустимых значений до подмножества. Затем из подмножества с помощью заказчика используя принцип оптимальности выбирается одно решение. .

4. 2. Принцип Парето o Некоторое решение Х// D называется решением предпочтительнее решения Х/ D, если fi(Х//) fi(Х/), для всех i=1, k и хотя бы для одного критерия выполняется строгое неравенство fiо(Х//)>fiо(Х/). o Некоторое решение Х* D называется эффективным решением этой задачи (Парето оптимальным), если не существует таких решений Х D, которые являются более предпочтительными по отношению к решению Х*. Другими словами: эффективное решение – это такое решение, которое не может быть улучшено по одному из критериев без ухудшения другого критерия.

o Множество эффективных решений называется множеством Парето P(D) D (это множество является подмножеством D). o Слабо эффективное решение – это такое решение, которое не может быть улучшено одновременно по всем критериям, но может быть улучшено по одному из критериев без ухудшения других.

Пример F{3 x 1 -x 2 ; x 2}->max x 1≤ 2 x 2≤ 4 2 x 1+x 2≤ 6 xj≥ 0 f 1(x)= 3 x 1 -x 2 ->max f 2(x)= x 2 ->max

Иллюстрация решения задачи в пространстве решений (пространстве иксов) x 2 множество Парето 6 f 1 C B f 4 2 F A K D E x 1 Рис. 1. Иллюстрация решения задачи в пространстве решений (пространстве иксов)

X D f 1(x) f 2(x) Примечание Свойст во решения P(D) A(2, 2) 4 2 B(1, 4) -1 4 Не улучшаемые точки -“- F(1, 5, 3) 1, 5 3 -“- P(D) E(2, 0) 6 0 -“- P(D) C(0, 4) -4 4 D(0, 0) 0 0 K(1, 1) 2 1 P(D) S(D) Улучшаемая по 1 му критерию P(D), Одновременно S(D) улучшаемая по обоим критериям

Иллюстрация решения задачи в пространстве критериев (пространстве f) f 1 множество эффективных решений E 6 4 A K F D 4 f B - C 4 Рис. 2. Иллюстрация решения задачи в пространстве критериев 2

Нормализация критериев Зачастую целевые функции fi(x) имеют различную размерность и их необходимо свести к безразмерному виду с помощью какого-нибудь преобразования. Это преобразование должно удовлетворять по крайней мере следующим критериям: o иметь общее начало отсчета и один порядок изменения значений на всем множестве допустимых решений o быть монотонным преобразованием, т. к. должно сохранять отношение предпочтения на множестве D, т. е. не менять множество Парето o учитывать необходимость минимизации отклонения от оптимальных значений по каждой целевой функции.

При fi->max

Пример (продолжение) X D w 1(x) w 2(x) A(2, 2) 0. 2 0. 5 B(1, 4) F(1, 5, 3) E(2, 0) C(0, 4) 0. 7 0. 45 0 1 0 0. 25 1 0 D(0, 0) K(1, 1) 0. 6 0. 4 1 0. 75

Анализ результатов и оценивание вариантов в точках множества Парето позволяют o обнаружить критерии, значения которых мало меняются o выявить зависимые или противоречивые критерии o определить взаимосвязь критериев друг с другом