§ 4. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Пункт 1. Матричный метод Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Составим матрицы: A = С= B=.
Систему уравнений можно записать: A С = B. Умножим слева обе части уравнения на обратную матрицу А-1, то: A-1 A С = A-1 B, т. к. А-1 А = Е, то Е С = А-1 В или С = А-1 В
Пример. Решить систему уравнений : С= , B= , A=
Найдем обратную матрицу А-1. 1. Найдем определить матрицы: D= 5 • 2+(-1) • 3 • 4+1 • 3 • (-1)-[(-1) • 2 4+1 • (-1) • 2+3 • 5]= -30. • •
2. Найдем алгебраические дополнения матрицы: А 11=-5 А 12=10 А 13=-5 А 21=-1 А 22=14 А 23=-19 А 31=-1 А 32=-16 А 33=11
Составим матрицу из алгебраических дополнений
3. Транспонируем полученную матрицу:
4. Разделим транспонированную матрицу на величину определителя Δ:
Cделаем проверку: A A-1 = =E.
Находим матрицу С = А-1 В = = Ответ. x =1; y = 2; z = 3.
Пункт 2. Метод Крамера Теорема. Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными
и матрица системы невырожденная, т. е. Δ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое находят по правилу Крамера: где Δ – определитель системы, Δк – определитель, полученный из определителя системы заменой к-го столбца столбцом свободных членов (к=1, 2, …, n).
: Пример. Решить систему уравнений методом Крамера
Составим соответствующие определители
Решение системы примет вид: Ответ. x=1, y=2, z=3.
3. Метод Гаусса Рангом матрицы А называют наибольший порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Для нахождения ранга матрицы применяют элементарные преобразования: 1. Перестановку двух строк (столбцов) матрицы местами; 2. Умножение любой строки (столбца) матрицы на ненулевое число; 3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца). 4. Вычеркивание строки (столбца), все элементы которой равны нулю.
Пример: определить ранг матрицы
Вычтем из элементов последнего столбца сумму первых трех столбцов, получим:
Используя элементарное преобразование 4, получим
Матрица А 1 является минором матрицы А и имеет порядок 3. Если определитель матрицы А 1 отличен от нуля, то ранг матрицы А будет равен 3. Найдем определитель матрицы А 1. Следовательно, rang(A)=3
Строчечный ранг матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы приведенной к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над строками.
Матрица имеет ступенчатый вид, если у нее под главной диагональю стоят нули. Например: Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над строками.
Пример: найти строчечный ранг матрицы
Метод Гаусса Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Составим из ее коэффициентов основную и расширенную матрицы А-основная В-расширенная
При помощи элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу В к ступенчатому виду. Найдем ранг основной и расширенной матриц. Если rang(A)=rang(B), то система совместна. Если ранг равен числу неизвестных, то решение единственное.
От ступенчатой матрицы перейдем к системе уравнений, решив которую, получим ответ. Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса
Составим расширенную матрицу При помощи элементарных преобразований над строками приведем ее к ступенчатому виду.
получим А В Так как rang(A)=rang(B), то система совместна. Число неизвестных совпало с рангом (n=3), то решение единственное.
Перейдем вновь к системе уравнений Решив данную систему, получим: x=1, y=2, z=3.
Скачать презентацию 4 Решение систем линейных алгебраических уравнений
4. решение слау.ppt