4 Поле равномерно заряженного шара Заряд шара равен

4) Поле равномерно заряженного шара Заряд шара равен Q, радиус шара равен R. Вне шара поле такое же, как у точечного заряда и заряженной сферы, поэтому разность потенциалов в точках, находящихся вне шара равна Внутри шара r < R напряженность поля равна

Если две точки 1 и 2 находятся внутри шара (r 1 < R, r 2 < R), то разность потенциалов между ними равна

5) Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра Радиус цилиндра равен R, линейная плотность заряда равна λ. Напряженность поля вне цилиндра (r > R) равна Поэтому разность потенциалов между двумя точками, расположенными вне цилиндра (r 1 > R, r 2 > r 1), есть

13. Диэлектрики в электрическом поле Типы диэлектриков Диэлектриками (изоляторами) называются вещества не способные проводить электрический ток. Это связано с тем, что в них практически нет свободных зарядов, которые могут перемещаться на значительные расстояния и переносить ток. Идеальных изоляторов в природе нет, все вещества в той или иной степени проводят ток, но у диэлектриков проводимость в 1015 -1020 раз меньше, чем у металлов.

Под воздействием внешнего электрического поля заряды, входящие в состав диэлектрика не срываются со своих мест, а лишь несколько смещаются из положений равновесия в новые равновесные положения. Диэлектрик состоит из нейтральных атомов и молекул. Пусть Q – суммарный положительный заряд всех ядер, а (-Q) – суммарный отрицательный заряд всех электронов молекулы. Тогда молекулу можно рассматривать как электрический диполь с моментом где - плечо диполя. В зависимости от величины электрического момента молекулы делят на два типа.

Если молекула имеет симметричное строение, то центры положительных и отрицательных зарядов совпадают , а ее дипольный момент равен нулю. Такие молекулы называют неполярными. Во внешнем электрическом поле заряды Q и (-Q) смещаются в разные стороны и неполярная молекула приобретает дипольный момент, поэтому она ведет себя как упругий диполь.

Опыт показывает, что модуль дипольного момента неполярной молекулы пропорционален напряженности внешнего поля (1. 39) где - поляризуемость молекулы. Неполярными молекулами являются

Другие молекулы имеют асимметричное строение. У них центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают , поэтому они имеют отличный о нуля собственный дипольный момент. Такие молекулы называют полярными. Примерами полярных молекул являются В отсутствие внешнего поля за счет теплового хаотического движения дипольный момент полярных молекул распределен по направлениям равновероятно, поэтому суммарный момент диэлектрика равен нулю.

Полярные молекулы жесткие. Под действием внешнего поля их заряды почти не смещаются друг относительно друга, а молекула поворачивается как целое так, чтобы ее дипольный момент установился по направлению поля. В результате суммарный дипольный момент диэлектрика становится отличным от нуля.

Таким образом, во внешнем поле полярные и неполярные диэлектрики приобретают электрический дипольный момент. Об этом говорят как о поляризации диэлектрика. В общем случае поляризация диэлектрика неоднородна и меняется от точки к точке. Это может быть связано как с неоднородностью внешнего поля, так и с неоднородностью состава самого диэлектрика. Для характеристики степени поляризации используют дипольный момент единицы объема диэлектрика, найдем его.

Для этого выделим вблизи некоторой точки малый объем , в котором находятся N молекул с электрическими моментами. Вектор (1. 40) называется вектором поляризации или поляризованностью диэлектрика в данной точке. Размерность вектора поляризации равна

Опыт показывает, что у изотропных диэлектриков (полярных и неполярных) поляризованность пропорциональна напряженности поля в той же точке (1. 41) где - диэлектрическая восприимчивость (безразмерная величина). Для неполярных молекул формула (1. 41) вытекает из (1. 39). Действительно, дипольный момент i - ой молекулы равен тогда где n – концентрация молекул, поэтому

У полярных диэлектриков диэлектрическая восприимчивость уменьшается с ростом температуры за счет усиления роли хаотического теплового движения, приводящего к дезориентации диполей молекул. Все заряды, находящиеся внутри или вне диэлектрика, делят на два типа. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называют связанными. Эти заряды лишь немного смещаются из своих положений под действием внешнего поля и не покидают пределы молекул. Заряды, которые не входят в состав молекул, называют сторонними. Они могут быть в пределах диэлектрика или вне его.

Сторонние заряды могут быть как свободными, так и несвободными. Свободные заряды могут перемещаться на макроскопические расстояния (например, электроны в металле, вакууме, ионы в газах и электролитах). Примером несвободных сторонних зарядов являются заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектрика.

Электрическое поле в диэлектрике является суперпозицией полей, созданных связанными и сторонними зарядами. Это суммарное поле называют микроскопическим Микроскопическое поле резко меняется на межмолекулярных расстояниях и за счет движения молекул быстро зависит от времени.

В опытах обычно изучают диэлектрические материалы с макроскопическими размерами много большими межмолекулярных расстояний и в течение промежутков времени много большими периодов внутримолекулярных и тепловых колебаний. Поэтому в них обнаруживается лишь усредненное по времени и объему микроскопическое поле Обозначим далее тогда Усредненное поле (1. 42) называют макроскопическим полем.

Поляризованность является макроскопической величиной, поэтому в формуле (1. 41) под надо понимать усредненное макроскопическое поле. В вакууме (нет диэлектрика) поэтому в прежней формуле под надо понимать .

Рассмотрим теперь детально распределение зарядов в диэлектрике. Обозначим через - объемную плотность связанных зарядов, а через - поверхностную плотность связанных зарядов. Если диэлектрик неполяризован, то Во внешнем поле в результате поляризации поверхностная плотность становится отличной от нуля, иногда отличной от нуля становится и объемная плотность. Под действием поля заряды одного знака уходят внутрь, а другого знака – наружу поверхности диэлектрика. В результате вблизи поверхности диэлектрика возникает избыток связанных зарядов одного знака.

На рисунках показано распределение зарядов в диэлектриках с неполярными и полярными молекулами в отсутствии и при наличии внешнего поля.

Установим связь между поляризованностью диэлектрика и поверхностной плотностью связанных зарядов. Пусть бесконечная плоскопараллельная пластина из диэлектрика помещена в однородное электрическое поле. Выделим в ней малый объем в виде косого цилиндра с образующими l , параллельными полю и основаниями , совпадающими с основаниями пластины. Объем цилиндра равен поэтому его дипольный момент (1. 43)

С другой стороны, этот цилиндр эквивалентен диполю с зарядами и , отстоящими друг от дна расстояние l. Электрический момент такого диполя равен и он должен совпадать с (1. 43) , приравнивая получаем Отсюда находим искомую связь (1. 44) где - проекция вектора поляризованности внешнюю нормаль. на

Согласно формуле (1. 41) где - нормальная составляющая поля внутри диэлектрика, тогда формулу (1. 44) можно записать как (1. 45)

Из рисунка видно, что в тех местах поверхности диэлектрика, где линии напряженности выходят из диэлектрика , на поверхности выступают положительные заряды. Там, где линии поля входят в диэлектрик на поверхности появляются отрицательные заряды.

Теперь найдем связь объемной плотности сторонних зарядов с поляризованностью на примере диэлектрика, состоящего из неполярных молекул. Для этого выделим в диэлектрике малую площадку. При включении внешнего электрического поля все положительные заряды сдвинутся на одно и то же расстояние l 1 в направлении поля, а все отрицательные заряды сдвинутся на некоторое другое расстояние l 2 против поля.

Площадку пересекут слева направо все положительные заряды, находящиеся в объеме левого косого цилиндра , и справа налево – все отрицательные заряды, находящиеся в объеме правого косого цилиндра Поэтому через площадку переносится полный заряд, равный n - плотность молекул, (l 1+l 2) - расстояние, на где а которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицательные заряды.

В результате перемещения каждая пара зарядов приобретет дипольный момент, равный p = el = e(l 1 +l 2) Число пар зарядов в единице объема равно плотности n, поэтому суммарный дипольный момент единицы объема равен eln = pn Эта величина по определению есть модуль вектора поляризованности Поэтому заряд можно записать как

но тогда Пусть теперь поверхность S замкнутая внутри диэлектрика. При включении внешнего электрического поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд, равный

Поэтому внутри объема, ограниченного поверхностью S возникает избыточный связанный заряд (1. 45 а) где - поток вектора через поверхность S. Формула (1. 45 а) выражает собой теорему Гаусса для вектора поляризации: поток вектора поляризации сквозь произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью.

Определимсвязанных объемную зарядов плотность согласно Тогда с использованием теоремы Остроградского - Гаусса получаем то есть Данное равенство должно выполняться для произвольных объемов V , поэтому должны равняться подинтегральные функции (1. 46)

Таким образом, плотность связанных зарядов равна дивергенции поляризованности , взятой с обратным знаком. Формула (1. 46) справедлива для диэлектриков не только с неполярными, но и с полярными молекулами.

Связанные заряды, как и сторонние заряды, тоже служат источниками электрического поля. Поэтому теорема Гаусса в дифференциальной форме в общем случае имеет вид где - плотность сторонних зарядов.

Подставим в уравнение, связывающее напряженность с потенциалом получаем уравнение Пуассона Уравнение Пуассона позволяет определить потенциал поля в диэлектрике, если известно распределение полного заряда (сторонних и связанных зарядов). В тех участках поля, где нет электрических зарядов () уравнение Пуассона принимает вид

Подставим теперь в формулу для из В общем случае диэлектрик может быть неоднородным, поэтому , вообще говоря, зависит от координаты. Тогда Подставим сюда из получаем Таким образом, плотность связанных зарядов не равна нулю, если:

Вектор электрического смещения Определение электрического поля по формуле неудобно, так как плотность связанных зарядов сама зависит от. Расчет поля можно упростить, если ввести вспомогательную величину, источниками которой являются только сторонние заряды. Для этого подставим в из или Таким образом, искомой величиной является вектор , называемый электрическим смещением (электрической

Подставим в Величина проницаемостью среды. из называется диэлектрической

В результате можем записать То есть вектор пропорционален. Это, однако, верно лишь для изотропных диэлектриков. В анизотропных диэлектриках направления векторов и разные. С использованием формула принимает вид Проинтегрируем это равенство по некоторому объему где - суммарный сторонний заряд в объеме

Таким образом, получаем Эта формула является теоремой Гаусса для вектора : поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен сумме сторонних зарядов внутри этой поверхности. Единицей измерения является , а единицей измерения Из следует, что заряд в 1 Кл создает поток смещения в 1 Кл через охватывающую его поверхность.

Поле вектора изображают с помощью линий электрического смещения подобно. Но линии для могут начинаться и заканчиваться только на сторонних зарядах. Через связанные заряды линии идут не прерываясь. В то же время линии начинаются или заканчиваются как на сторонних, так и на связанных зарядах.

Пример вычисления поля в диэлектриках. Поле внутри плоской пластины Пусть имеются две бесконечные параллельные и разноименно заряженные плоскости с поверхностной плотностью. В вакууме, создаваемое ими поле имело бы напряженность и смещение Внесем между ними пластину из однородного изотропного диэлектрика. Под действием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появляются связанные заряды с плотностью. Эти заряды создают внутри пластины однородное поле с напряженностью

Вне диэлектрика Напряженность поля Оба поля направлены навстречу другу, поэтому суммарное поле в диэлектрике а вне диэлектрика

Поляризация диэлектрика обусловлена полем , поэтому согласно тогда или Таким образом, поле в диэлектрике ослабляется в число раз. Умножим на получим электрическое смещение внутри пластины

Найдем то есть откуда . Из имеем

Условия для электрических полей на границе двух диэлектриков Ранее было показано, что циркуляция вектора любому замкнутому контуру равна нулю по Существует теорема Стокса, согласно которой интеграл по замкнутому контуру можно свести к интегралу по поверхности, охватываемой этим контуром где вектор - называется ротором вектора Это равенство должно выполняться для любого контура, а значит и для любой поверхности .

Это возможно, лишь если вектор уравнению удовлетворяет Рассмотрим данное уравнение вместе с Пусть теперь имеются 2 диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями. Ось x направим вдоль границы. Выберем прямоугольный контур длиной и шириной , который частично проходит в первом диэлектрике и частично - во втором. Направление обхода

Пусть в первом диэлектрике создано поле , а во втором -. Так контур замкнутый, то циркуляция вектора должна равняться нулю. Запишем эту циркуляцию в виде суммы вкладов от 4 -х сторон контура, учитывая ориентацию поля и направление обхода или Сделаем контур бесконечно тонким, устремляя тогда Значения проекций векторов границы. к нулю, и на ось x берутся вблизи

Соотношение должно выполняться при произвольном выборе оси x в плоскости границы. Данную ось можно выбрать и так, что будет выполняться Это значит, что вблизи границы векторы одной плоскости с нормалью к поверхности. Представим В согласии с и лежат в

Используя , можем записать в виде Выберем теперь вблизи границы цилиндр высотой и с основанием. Считаем, что мала, поэтому в пределах цилиндра с двух сторон от границы электрическое поле можно считать однородным. Применим к поверхности цилиндра теорему Гаусса Если сторонних зарядов нет, то .

С другой стороны где - усредненное значение Устремляя на боковой поверхности. , получаем Знаки разные, так как нормали и направлены в разные стороны. Если спроецировать и на одну и ту же нормаль, то или выражая через , получаем

Таким образом, на границе раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора и тангенциальная составляющая вектора непрерывны. Эти соотношения справедливы не только для электростатических полей, но и для полей, зависящих от времени. На границе диэлектриков линии электрического смещения терпят излом, преломляются. Из следует

Силы, действующие на заряд в диэлектрике Заряженное тело, помещенное в диэлектрик вытесняет диэлектрик из занимаемого им объема