4 Графическая интерпретация задачи МП 1 2 3

4. Графическая интерпретация задачи МП 1. 2. 3. 4. 5. Линейная модель задачи МП Выпуклые множества Свойства вектора – градиента Пример решения задачи ЛП графическим методом Анализ чувствительности модели

1. Линейная модель задачи МП Рассмотрим линейную модель вида (1. 2) при условиях , , (1. 3) (1. 4) Определение. Совокупность чисел , удовлетворяющих ограничениям (1. 2) – (1. 4), называется допустимым решением (или планом). Определение. План , при котором целевая функция задачи (1. 2) принимает свое максимальное значение, называется оптимальным. Определение. Пусть X 1, X 2, . . . , Xn – произвольные точки евклидова пространства En. Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма , где – произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1: , , .

2. Выпуклые множества Определение. Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию, или: множество выпукло, если с любыми двумя точками, принадлежащими множеству, оно содержит и весь отрезок, соединяющий их. Определение. Точка x 0 называется крайней (угловой) точкой выпуклого множества X, если не существуют различные точки x 1 и x 2 из множества X, для которых x 0=Kx 1 +(1 -K) x 2, где 0 < K <1. Рис. 1. 3. Множества а) и б) выпуклые; множество в) невыпуклое

3. Свойства вектора – градиента Определение. Градиентом функции f(x 1, x 2, …, xn) в точке X 0=(x 01, x 02, …, x 0 n) называется вектор, компонентами которого являются частные производные функции f по всем переменным: n n n Указывает направление максимального возрастания функции f(x 1, x 2, …, xn) в точке X 0=(x 01, x 02, …, x 0 n) Модуль вектора-градиента соответствует абсолютному значению скорости возрастания функции Является нормалью к касательной плоскости, проведенной к поверхности уровня в точке X 0=(x 01, x 02, …, x 0 n). Перечисленные свойства положены в основу графического метода решения задач МП.

4. Пример решения задачи ЛП графическим методом Задача. Ресурсы Расходы ресурсов на 1 ед. Продукции Запасы ресурсов Р 1 Р 2 Сырье 1 3 14 Труд 4 2 26 Цена продукции 3 3 Ограничения: Спрос на продукцию Р 1 не превосходит спрос на продукцию Р 2 более чем на 5. Спрос на продукцию Р 2 ≤ 4. Найти: План выпуска продукции, который обеспечивает максимальную выручку от реализации продукции.

Формализация задачи Ресурсы Расходы сырья на 1 ед. Продукции Запасы сырья Р 1 Р 2 Сырье 1 3 14 Труд 4 2 26 Цена продукции 3 3 n Формализация задачи: Z =3 x 1 + 3 x 2 ═> Max x 1 + 3 x 2 ≤ 14 (1) 4 x 1 + 2 x 2 ≤ 26 (2) x 1 – x 2 ≤ 5 (3) x 2 ≤ 4 (4) x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0 (5)

Графический метод решения задач математического программирования x 2 Шаг 1. Построение области допустимых значений для x 1 и x 2 (2) Z d( ) (5 ) (3) ra G 4. 66 4. 00 G=grad(Z)={3, 3} A B (4) H C (1) 0 Шаг 2. Проводится прямая (5) вдоль направления: E (6) 5. 00 D 6. 50 x 1 Шаг 3. Проводится прямая (6) перпендикулярная прямой (5) Шаг 4. Прямая (6) перемещается по прямой (5) до верхней точки касания с областью

Графо-аналитический метод решения задач математического программирования В данном случае решением задачи является точка С Ее координаты x 1 и x 2 можно снять из графика или вычислить из условия, что решение – координаты точки пересечения прямых (1) и (2) Имеем систему уравнений: Решение есть: x 1=5, x 2=3 Таким образом, максимальная выручка равна Z=24 при выпуске продукции х1=5 единиц, а продукции х2=3 единицы

5. Анализ чувствительности модели Определение. Решение считается чувствительным (устойчивым), если малые изменения ограничений приводят к малым изменениям решения. В случае задачи математического программирования, устойчивость это сохранение структуры решения при небольших изменениях ограничений. В рассмотренном примере решение лежит на пересечении границ (1) и (2). Именно эти ограничения определяют структуру оптимального решения. При анализе устойчивости оптимизационной модели определяются пределы изменения параметров модели, при которых остается неизменной качественная структура решения.

Связывающие ограничения и дефицитные ресурсы Определение. Ограничения, которые определяют структуру оптимального решения называются связывающими. В противном случае, соответствующее ограничение будет не связывающим. Неизменность качественной структуры решения предполагает неизменность типов ограничений задачи. В нашем случае связующие ограничения, это ограничения определяющие положение прямых (1) и (2). Определение. Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано не связывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере запасы сырья и трудовой ресурс, затрачиваемые на производство продукции являются дефицитными ресурсами.

Задачи на исследование устойчивости Анализ устойчивости позволяет ответить на ряд практически важных вопросов: 1. На сколько могут быть увеличены запасы дефицитных ресурсов с целью повышения эффективности экономической системы. 2. На сколько могут быть снижены запасы дефицитных ресурсов при сохранении общей структуры решения. 3. На сколько можно снизить запасы не дефицитных ресурсов при сохранении эффективности экономической системы. Провести оценку возможных изменений всех параметров модели одновременно не возможно, т. к. параметры связаны между собой. Оценка устойчивости проводят для каждого параметра отдельно.

Анализ изменений запаса ресурс – сырье (верхний предел) x 2 При увеличении запаса ресурса сырье прямая (1) будет перемещаться вверх параллельно самой себе, до точки Н, в которой пересекаются линии ограничений (1) и (4). (2) (3) 4. 66 4. 00 A B (4) H C (1) 0 E 5. 00 D 6. 50 x 1 Структура решения сохраняется при перемещении (1) до точки Н. В точке Н ограничение (1) для запаса ресурса – сырье становится избыточным, так как любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение. При дальнейшем перемещении линии запаса ресурса – сырье оптимальное решением будет определяться пересечением прямых (2) и (4), то есть структура оптимального решения меняется и чувствительность решения задачи к изменению параметра ресурс – сырье теряется.

Анализ изменений запаса ресурс – сырье (верхний предел) Объем ресурса – сырье не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится избыточным, т. е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точку Н. Этот предельный уровень определяется следующим образом. Устанавливаются координаты точки Н, в которой пересекаются прямые (1), (4) из графика или находится из решения системы уравнений для этих прямых Откуда получаем х1=4. 5; х2=4. Подставляя, полученные значения х1 и х2 в ограничение (1) получим верхний предел запаса ресурса – сырье x 1 + 3 x 2 ≤ 14 => 4. 5 + 3· 4 = 16. 5 Таким образом, ресурс – сырье можно увеличить на 2. 5 единицы без изменения структуры оптимального решения. Эффективность системы при этом возрастет на 1. 5 единицы (Z=25. 5).

Анализ изменений запаса ресурс – сырье (нижний предел) Аналогичным образом можно определить нижний предел ресурса - сырье при сохранении структуры решения. x 2 Прямую (1) опускаем до точки D. Ниже нее связывающими ограничениями становятся (1) и (3). (2) (3) 4. 66 4. 00 A B (4) H (1) 0 E 5. 00 Откуда: х1=6; D 6. 50 Координаты точки D нового оптимального решения х1 и х2 находятся из решения системы уравнений x 1 х2=1 «Сырье» 1· 6+3· 1=9 Z=3· 6+3· 1=21

Анализ изменений трудового ресурса Аналогично определяются допустимые пределы изменения ресурса «Труд» Прямую (2) можно x 2 (2) перемещать между точками В и L. В точке В имеем (3) 4. 66 4. 00 A B (4) (1) E 5. 00 D 6. 50 «Труд» - 16 В точке L: L 0 x 1=2; x 2=4; Z=18 x 1=7, 25; x 2=2. 25; Z=28. 5 «Труд» - 33. 5

Пределы изменения недефицитных ресурсов Спрос 1 задается ограничением (3). Спрос 2 – (4). Возможное уменьшение ресурса «Спрос 1» определяется положением (3 -1). x 2 (2) (3 -1) 4. 66 4. 00 A (3) (4) B С L (1) 0 E 5. 0 D 6. 50 Предельное значение ресурса находится из равенства (3) подстановкой координат точки C {5, 3}: x 1 -x 2=5 -3=2. Аналогично находится нижний предел ресурса «Спрос 2» x 2=3. Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если спрос на первый и второй x 1 продукты упадет до 2 и 3 единиц, соответственно.

Оценка ценности ресурса Определение. Ценностью ресурса называется отношение: С=ΔZ/ΔR где ΔR – диапазон изменения ресурса при сохранении структуры решения В данном примере: Показатель ценности ресурсов играют важную роль при определении приоритетов увеличении запасов ресурсов В первую очередь увеличивают ресурсы с большей ценностью

Результаты исследования на устойчивость Ресурс Тип ресурса Значение Пределы Изменения Ценность ресурса изменения ЦФ ресурса Сырье Дефицитный 14 9 – 16. 5 21 – 25. 5 0. 6 Труд Дефицитный 26 16 – 33. 5 18 – 28. 5 0. 6 Спрос 1 Недефицитный 5 2 -∞ - - Спрос 2 Недефицитный 4 3 -∞ - -