4 5 Новое определение предельного значения функции Определение

4. 5. Новое определение предельного значения функции Определение 4. 14. Число b называется предельным значением функции f(x) в точке х = а, если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x — а| < справедливо неравенство |f(x) — b| < . Теорема 4. 4. Старое и новое определения предельного значения функции эквивалентны. Математический анализ, 1 семестр

4. 5. Новое определение предельного значения функции 1 теорема Больцано-Вейерштрасса о промежуточных значениях. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [а, b], и пусть значения этой функции на концах сегмента f(а) и f(b) числа разных знаков. Тогда внутри сегмента [а, b] найдется такая точка c, значение функции в которой равно нулю. 2 теорема Больцано-Вейерштрасса Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [а, b], причем f(a) = A, f(b) = В. Пусть далее С — любое Число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [а, b] найдется точка c такая, что f(c) = С. Математический анализ, 1 семестр

4. 5. Новое определение предельного значения функции Определение 4. 15. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих неравенству |х – а| < справедливо неравенство |f(x) - f(a)| < . Определение 4. 16. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке х = а условию Коши, если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента х1 и х2, удовлетворяющие неравенствам 0 < | х1 - а| < , 0 < | х2 а| < , для соответствующих значений функции справедливо неравенство |f(х1) - f(х2)| < . Теорема 4. 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция f(x) имела конечное предельное значение в точке х = а, необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) удовлетворяла в этой точке условию Коши. Математический анализ, 1 семестр

5. 1 Локальная ограниченность функции 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ 5. 1 Локальная ограниченность функции, имеющей предельное значение Определение 4. 17. Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве {x}, если найдется такое вещественное число М (число m), что для всех значений аргумента х из множества {х} справедливо неравенство f(x) M (f(x) m). Определение 4. 18. Функция f(x) называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной на множестве {x}, если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу, т. е. если найдутся такие вещественные числа m и М, что для всех значений аргумента х из множества {х} справедливы неравенства m f(x) М. Теорема 4. 6. Если функция f(x) имеет конечное предельное значение в точке х = а, то существует некоторая -окрестность точки а, такая, что для всех значений аргумента из указанной окрестности функция f(x) ограничена. Математический анализ, 1 семестр

5. 2. Теорема об устойчивости знака Следствие. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а, то эта функция ограничена для всех значений аргумента из некоторой -окрестности точки а. 5. 2. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции Теорема 4. 7. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а и если f(a) 0, то существует такая -окрестность точки а, что для всех значений аргумента из указанной -окрестности функция f(x) не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком f(а). Математический анализ, 1 семестр

5. 3. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте Теорема 4. 8 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она ограничена на этом сегменте. 5. 4. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на сегменте Определение. 4. 19. Число М (число m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве {x}, если выполнены следующие два требования: 1) для каждого значения х из множества {х} справедливо неравенство f(x) M (f(x) m); 2) каково бы ни было положительное число , найдется хотя бы одно значение х из множества {x}, для которого справедливо неравенство f(х ) > M - (f(х ) < m + ). Математический анализ, 1 семестр

5. 5. Равномерная непрерывность функций Теорема 4. 9 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней граней (т. е. на сегменте [а, b] найдутся такие точки х1 и x 2, что f(х1) = М, (f(x 2) = m). 5. 5. Равномерная непрерывность функций Функция f: X → R называется равномернонепрерывной на множестве X, если для > 0: x, y X: |x – y| < |f(x) – f(y)| < . Теорема 4. 10 (теорема Кантора) Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте. Математический анализ, 1 семестр