4 2 Понятие предельного значения функции Математический анализ

4. 2. Понятие предельного значения функции Математический анализ, 1 семестр

4. 2. Понятие предельного значения функции Математический анализ, 1 семестр

4. 3. Понятие непрерывности функции Математический анализ, 1 семестр

4. 3. Понятие непрерывности функции Теорема 4. 2. Пусть заданные на одном и том же множестве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) g(x) и f(x)/g(x) непрерывны в точке а (частное при условии g(a) 0). Теорема 4. 3. Если функция х = (t) непрерывна в точке а, а функция у = f(x) непрерывна в соответствующей точке b = (а), то сложная функция у = f[( (t)] = F(t) непрерывна в точке а. Математический анализ, 1 семестр

4. 4. Некоторые свойства монотонных функции Определение 4. 9. Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве {х}, если для любых х1 и х2 из этого множества, удовлетворяющих условию х1 х2 , справедливо неравенство f(х1) f(х2) (f(х1) f(х2) ) Неубывающие и невозрастающие функции объединяются общим наименованием монотонные функции. Определение 4. 10. Пусть функция у = f(x) задана на сегменте [а, b], и пусть множеством значений этой функции является сегмент [ , ]. Пусть, далее, каждому у из сегмента [ , ] соответствует только одно значение х из сегмента [а, b], для которого f(x) = у. Тогда на сегменте [ , ] можно определить функцию х = f-1(y) ставя в соответствие каждому у из [ , ] то значение х из [а, b], для которого f(x) = у. Функция х = f-1(y) называется обратной для функции у = f(x). Математический анализ, 1 семестр

4. 4. Некоторые свойства монотонных функции Лемма 1. Для того чтобы строго монотонная на сегменте [а, b] функция у = f(x) являлась непрерывной на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы любое число , заключенное между числами = f(a) и = f(b), было значением этой функции. Следствие. Пусть на сегменте [а, b] задана строго монотонная непрерывная функция у = f(x), и пусть = f(a) и = f(b). Тогда эта функция имеет на сегменте [а, ] (или [ , ], если < ) строго монотонную и непрерывную обратную функцию х = f-1(y). Математический анализ, 1 семестр