3. Загальна схема дослідження і побудови графіка функції. Алгоритм дослідження функції та побудови графіка. 1. Область визначення функції, точки перетину з осями координат. 2. Дослідження функції на парність (непарність), періодичність. 3. Знаходження асимптот графіка функції. 4. Дослідження функції на монотонність, екстремум. 5. Дослідження на опуклість (вгнутість) та точки перегину графіка функції. 6. Побудова графіка функції.
Приклад 3. Дослідити та побудувати графік функції Розв’язання. Дослідимо функцію за схемою. 1. Область визначення функції: Отже, Перетин з осями координат: - з віссю Ох: , , звідки х = 0; - з віссю Оу: , звідки. Отже, крива перетинає координатні осі лише в одній точці О(0; 0).
2. Дослідимо функцію на парність. отже, функція непарна, що свідчить про симетрію кривої відносно початку координат. Функція не є періодичною, оскільки вона не містить тригонометричних функцій.
3. Асимптоти кривої. Вертикальні асимптоти: . Дослідимо поведінку кривої в околі асимптот (рис. ). y -1 0 1 x
Горизонтальні асимптоти не існують, оскільки Похилу асимптоту обчисливши спочатку знайдемо, а потім Отже, існує похила двостороння асимптота у = х.
4. Дослідимо функцію на монотонність за похідною: Критичні точки першого роду у/= 0, коли х = 0 або у/ – не існує, коли Критичні точки розбивають вісь Ох на шість інтервалів монотонності. Знайдемо знак похідної на кожному з цих інтервалів, розв’язавши нерівність методом інтервалів.
Одержимо такі знаки на цих інтервалах (рис. ). f / ( x) + + -1 0 1 x f ( x) Маємо при – інтервали зростання функції, при – інтервали спадання функції. Отже, – точка Побудуємо точки графіку функції. та на
5. Дослідимо функцію на опуклість за другою похідною. Критичні точки другого роду у//= 0, коли х = 0 у// – не існує, коли Визначемо знак на інтервалах, на які розбивають вісь Ох ці критичні точки: y//>0, тобто
Розв’яжемо цю нерівність методом інтервалів і одержимо такий розподіл знаків (рис. ). f // (x) f ( x) - -1 + 0 1 + х Інтервали – інтервали опуклості, а інтервали – інтервали вгнутості кривої. Точка х=0 – точка перегину кривої, . Отже, маємо на графіку точку О(0; 0) – точку перегину кривої. Точки не є точками перегину кривої, бо не належать області визначення цієї кривої.
6. Побудова графіка функції. Використавши всі дослідження, будуємо графік (рис. ) B -1 0 A 1 x
Скачать презентацию 3 Загальна схема дослідження і побудови графіка функції
Вищ. мат тема (17).ppt