3. Преобразование Фурье 1
Преобразование Фурье 3. 1. Базисные функции ряда Фурье. 3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье. 3. 3. Временная и частотные области сигнала. 3. 4. Комплексная форма ряда Фурье. 3. 5. Интеграл Фурье. 3. 6. Преобразование Фурье. 3. 7. Синус- и косинус-преобразования. Page 2
Преобразование Фурье 3. 12. Равенство Парсеваля. 3. 13. Применение равенства Парсеваля. 3. 14. Энергия гармонического осциллятора. 3. 15. Приложения преобразования Фурье. 3. 16. Таблица преобразований Фурье. Page 3
3. 1. Базисные функции ряда Фурье Ряд Фурье и преобразование Фурье – основные инструменты гармонического анализа. Ряды Фурье и преобразование Фурье были созданы для изучения распространения тепла в твердых и жидких средах. Фурье исследовал тепловые процессы. Один из опытов был посвящен распространению тепла по железному кольцу. Опыт состоит в следующем. Часть кольца на некоторое время погружается в раскаленные угли. Когда она раскалится докрасна, кольцо вынимают из углей и закапывают в песок. Затем измеряют изменение температуры в точках кольца с течением времени. Page 4
3. 1. Базисные функции ряда Фурье График изменения температуры плавно нарастает (в холодной части) и убывает (в раскаленной части) в форме функции синуса. Тепло проходит по кольцу и возвращается в исходную точку (период 2π). Но тепло движется по кольцу в направлении часовой стрелки и противоположном направлении, встречаясь на половине кольца. Page 5
3. 1. Базисные функции ряда Фурье В то же время исходная область нагрева не остыла. Получается два источника тепла и период изменения температуры становится равным π. Температура постепенно выравнивается и в конце концов становится одинаковой по всему кольцу. Фурье нашел, что первоначальное нерегулярное распределение можно разложить на множество простых синусоид, каждая из которых имеет свой максимум температуры и свою фазу, т. е. свои источники распространения тепла на кольце. Page 6
3. 1. Базисные функции ряда Фурье Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими периодами — соответственно второй, третьей и т. д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье свёл функцию распределения тепла, трудно поддающуюся математическому описанию, к удобным для анализа суммам синусов и косинусов, оказалось, что эти суммы очень точно описывают распределение тепла в твердом теле. Page 7
3. 1. Базисные функции ряда Фурье В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции. Это базисные функции ряда Фурье. Главная гармоника имеет период T, соответственно ω = 2π/T – частота (угловая скорость). Ортогональность базисных функций разложения означает, что Проверим это свойство интегрированием. Page 8
3. 1. Базисные функции ряда Фурье Проверим ортогональность сигналов с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке T=2π/ω, где m, n – целые числа. Найдем скалярное произведение Page 9 t € [-T/2, +T/2]
3. 1. Базисные функции ряда Фурье Применим формулу Если m ≠ n (при интегрировании нужно делить на m - n), то Page 10
3. 1. Базисные функции ряда Фурье То есть, для любых целых параметров m ≠ n сигналы ортогональны. При m=n=0 получаем То есть нулевой сигнал x(t)=0 ортогонален сам себе. (Такой необычный случай желательно исключить). При m=n ≠ 0 получаем Page 11
3. 1. Базисные функции ряда Фурье То есть, норма сигнала sin nωt равна норма сигнала cos nωt также равна Page 12
3. 1. Базисные функции ряда Фурье Окончательно получаем: 1) норма сигнала sin nωt при n=1, 2, … равна при n=0 норма sin nωt равна 0. 2) норма сигнала cos nωt при n=1, 2, … также равна при n=0 норма cos nωt равна Ввиду отличия норм нулевой базисной функции F 0 коэффициенты разложения при этой функции имеют особый вид, не соответствующий общей формуле коэффициентов. Page 13
3. 1. Базисные функции ряда Фурье 3) Сигнала sin nωt и sin mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны. 4) Сигнала cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны (доказать). 5) Сигнала sin nωt и cos mωt для всех целых n и m ортогональны (доказано в п. 2. 2). Исходя их этих результатов легко получить коэффициенты разложения сигнала в ряд Фурье, используя формулу коэффициентов разложения в ортогональный ряд. Page 14
3. 1. Базисные функции ряда Фурье Упражнение. Проверить ортогональность сигналов Page 15
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Общий вид разложения Вначале найдем коэффициенты A 0, B 0 Page 16
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Так как sin 0 =0, то B 0 – любое число, для определенности положим его равным нулю, B 0 =0. Коэффициент A 0 вычислим, умножив обе части (*) на cos 0 и интегрируя обе части равенства Page 17
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Так как по результатам п 3. 1. сигналы cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны и сигналы sin nωt и cos mωt для всех целых n и m также ортогональны, то все интегралы, кроме выражения левой части и первого слагаемого правой части обращаются в нуль. Тогда получаем По результатам п 3. 1. квадрат нормы cos 0 равен T, Тогда получаем Page 18
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе части (*) на cos kωt и проинтегрируем обе части выражения Page 19
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с коэффициентом Ak, и с учетом нормы cos kωt получаем выражение Page 20
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Отсюда коэффициент Ak для k=1, 2, … равен A 0 получили раньше коэффициент Bk вычисляем аналогично, для этого умножаем обе части (*) на sin kωt и интегрируем обе части полученного выражения, окончательно Page 21
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Если разложение в ряд Фурье функции x(t) записать в виде То формула для Ak справедлива и для k=0. Таким образом, для k=0, 1, 2, … для k=1, 2, … Page 22
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Легко показать, что при разложении нечетной функции коэффициенты ряда Фурье при базисных функциях cos(·) равны нулю, то есть разложение разложения нечетной функции не содержит базисных функций cos(·). При разложения четной функции ряд Фурье не содержит базисных функций sin(·). Ряд Фурье хорошо приближает периодические функции. Можно рассматривать любую (в том числе непериодическую) функцию на отрезке и разлагать ее в ряд Фурье только на отрезке, для непериодической функции удобно считать длину этого отрезка ее периодом.
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только cos( • ): Коэффициенты Bk будут равны нулю. Page 24
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Ряд Фурье для нечетной функции: Эта функция разлагается в ряд синусов, T=2, ω=π (здесь разложение до k = 4). Page 25
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье k=1 k=2 Page 26
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье k=3 k=4 Page 27
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Разложим x(t) = t 2 на отрезке [-1, 1], примаем T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·). Page 28
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Ряд Фурье для четной функции x(t) = t 2 на отрезке [-1, +1] (то есть, Т=2) : k=1 2 0 Page 29
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Ряд Фурье для четной функции x(t) = t 2 : k=3 k=4 Page 30
3. 2. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Следует заметить, что ряд Фурье для некоторых функций расходится, в этом случае говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье. Page 31
3. 3. Временная и частотные области сигнала Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . . , где частота ω = 2π/T. Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области. Из представления x(t) во временной области разложением в ряд Фурье можно получить представление в частотной области и наоборот (если существует разложение функции x(t) в ряд Фурье).
3. 3. Временная и частотные области сигнала 2/π Page 33
3. 3. Временная и частотные области сигнала Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на график коэффициентов (частотный график) изменится. точки (или отрезки в зависимости от того, как представлены коэффициенты на графике): Для разложения «пилы» предыдущего слайда с удвоенным параметром ω график частот станет такой: 1/2 4ω 0 Page 34 ω 2ω 3ω kω
3. 3. Временная и частотные области сигнала Можно и дальше увеличивать период T, при график частот приближается к некоторой кривой. Ряд приближается к интегральному преобразованию, это преобразование сигнал в некоторую функцию (частотную функцию): 1/2 4ω ω 2ω 3ω 0 kω Это преобразование Фурье исходного сигнала x(t). Штриховая линия – Фурье-образ сигнала x(t). Page 35
Spectral Plot Amplitude (or RMS Value) = Time/Frequency c 1 co 0 c 2 c 3 0 fo 2 fo 3 fo 4 fo 5 fo Phase f 1 f f 3 f 0 f 2 0 fo 2 fo 3 fo 4 fo 5 fo
3. 4. Комплексная форма ряда Фурье Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями. Заменяя sin() и cos() экспонентами, получаем ряд Фурье в следующем виде: Page 37
3. 4. Комплексная форма ряда Фурье Введем новые обозначения где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд Фурье в комплексной форме: Ck и C-k комплексно сопряженные числа. Зная один из коэффициентов Ck или C-k, можно найти другой, поменяв знак мнимой части. Это означает, что в комплексной форме достаточно разложить сигнал x(t) только для k = 0, 1, 2, … или для k = 0, -1, -2, … и изменив знак мнимой части, получить остальные коэффициенты разложения. Page 38
3. 4. Комплексная форма ряда Фурье Множество вещественных чисел называется спектром амплитуд сигнала. - спектр фаз - спектр мощности (или энергии) сигнала (подробнее рассмотрим при изучении равенства Парсеваля). Page 39
3. 5. Интеграл Фурье Разложение в ряд Фурье предполагает знание периода T = 2π/ω разложения. Ряд Фурье содержит амплитуды частот, из которых складывается сигнал. Преобразование Фурье, к рассмотрению которого мы переходим, не зависит от периода T и вместо последовательности амплитуд частот строит функцию амплитуд (плотность спектра). Для построения преобразования Фурье представим ряд Фурье в виде интеграла, который называется интегралом Фурье. Ряд Фурье имеет вид : Page 40
3. 5. Интеграл Фурье Коэффициенты подставим в ряд Функции не зависят от переменной интегрирования u, как постоянные величины их можно внести под знак интеграла. По формуле преобразуем подынтегральное выражение :
3. 5. Интеграл Фурье Положим Тогда сигнал x(t) разлагается в ряд: Page 42
3. 5. Интеграл Фурье Eсли и сумма стремится к интегралу по z, при этом если в первом слагаемом интеграл сходится, то первое слагаемое ряда стремится к нулю. В пределе Page 43
3. 5. Интеграл Фурье Ввиду четности cos(·) изменим предел интегрирования и в результате окончательно получаем интеграл Фурье: Вместе с интегралом Фурье рассмотрим функцию Если этот интеграл существует, то g(z) – нечетная функция по z. Если интегрировать эту функцию на интервале [A, A] Page 44
3. 6. Преобразование Фурье Умножим интеграл от sin(·) на i/2π и сложим с интегралом Фурье Теперь после внесения под общий знак интеграла и применения формулы Эйлера : Page 45
или 3. 6. Преобразование Фурье Интегральное преобразование Называется прямым преобразованием Фурье Page 46
3. 6. Преобразование Фурье Интегральное преобразование Называется обратным преобразованием Фурье. Функция X(z) называется Фурье-образом функции x(t), а функция x(t) называется Фурье-прообразом функции X(z). По аналогии со спектром амплитуд |X(z)|, называется амплитудной функцией, а Arg(X(z)) фазовой функцией для X(z). Page 47
3. 6. Преобразование Фурье Из формулы вывода преобразования имеем Мы получаем, что Если в формуле переставить интегралы, то получим Page 48
3. 6. Преобразование Фурье При выводе формулы преобразования предполагалось, что переменная t – вещественная, но подынтегральное выражение преобразования – функция комплексной переменной, так как содержит мнимую единицу i То есть вещественная функция вещественного аргумента t (времени) преобразуется в комплексную функцию от вещественного аргумента z (частоты). В общем случае можно рассматривать и t и z как комплексные переменные. Тогда преобразования Фурье – это преобразования комплексной плоскости на комплексную плоскость. Page 49
3. 6. Преобразование Фурье Page 50
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Однако для некоторых вещественных функций x(t) их Фурье-образ X(z) – тоже вещественная функция. При выводе преобразования Фурье применялся интеграл Фурье Представим cos z(t-u) как косинус суммы и получим (*) Если функция x(u) четная, то второй интеграл по du равен нулю как интеграл по симметричному отрезку от нечетной функции x(u) sin(zu), поэтому для четной функций x(u) Page 51
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Они называются соответственно прямым и обратным косинус-преобразованием. Косинус-преобразование переводит вещественную функцию в вещественную. Page 52
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Косинус-преобразование определяется не только для четной, но и для любой функции. Заметьте, что косинуспреобразование использует только неотрицательные аргументы функции, значения функции на отрицательных аргументах не принимаются во внимание. Page 53
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Аналогично для нечетной функции x(u) в формуле (*) интеграл от x(u) cos(zu) обращается в нуль. Тогда из равенства получаем прямое и обратное синус-преобразование Синус-преобразование переводит вещественную функцию в вещественную.
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Функция x(t) sin(zt) – четная и поэтому второй интеграл равен нулю. То есть преобразование Фурье от четной функции равно косинус-преобразованию от этой функции.
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Если функция x(t) нечетная, то : (так как первый интеграл обращается в нуль). То есть, преобразование Фурье от нечетной функции равно синуспреобразованию от этой функции с множителем -i.
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Любую вещественную функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Это известно из курса высшей математики: Пусть x(t) - вещественная функция, определенная на всей оси абцисс. Положим тогда g(t) – четная функция, h(t) – нечетная функция и Page 57
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Если Gcos(z) – косинус-преобразование функции g(t), а Hsin(z) – синус-преобразование функции h(t), то преобразование Фурье произвольной функции x(t) можно представить как сумму косинус- и синус-преобразований:
3. 7. Синус- и косинус-преобразования Пример. Найти преобразование Фурье функции Функция четная, поэтому ее преобразование Фурье сводится к косинус-преобразованию. Дважды интегрируем по частям и получаем Page 59
3. 7. Синус- и косинус-преобразования График сигнала и его косинус-преобразование Page 60
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Пример. Найти преобразование Фурье функции где a > 0. Функция четная, ее преобразование Фурье сводится к косинус-преобразованию.
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Графики функций (при а = 1) Page 62
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Преобразование получено таким образом: Вначале найдем неопределенный интеграл
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Далее получаем уравнение относительно искомого неопределенного интеграла:
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Положим, что искомый интеграл равен Х : И решим полученное уравнение относительно этого неизвестного Х :
3. 8. Примеры Фурье-преобразований После алгебраических преобразований получаем значение Х : Найдем определенный интеграл, учитывая что a > 0 :
3. 8. Примеры Фурье-преобразований
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Интеграл от сигнала - для этого подобран множитель a/2. Это свойство понадобится при изучении δ-функции. Заметим, что при функция стремится к нулю во всех точках, кроме t=0, а в этой точке функция стремится к бесконечности. (Функция x(t) стремится к δ-функции), в то же время ее Фурье – образ стремится к постоянной Page 68
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Функция x(t) стремится к δ-функции, а ее Фурье- образ к постоянной величине Page 69
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Определим прямоугольную функцию и найдем ее Фурье-образ. Функция четная, поэтому достаточно вычислить ее косинус-преобразование. Page 70
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Функция часто встречается в физических приложениях, она получила специальное обозначение sinc t. График этой функции Page 71
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Можно выразить Фурье-образ прямоугольной функции через функцию sinc t. Page 72
3. 8. Примеры Фурье-преобразований Рассмотрим специальный случай прямоугольного импульса при a=1/ε. Найдем его Фурье-образ : Если ε 0, то эта функция стремится к То есть снова получено, что преобразование Фурье от некоторой (здесь прямоугольной) δ-функции равно Page 73
3. 9. Свойства преобразования Фурье : 1. Линейность F(a·f(t) + b·g(t)) = a·F(f(t)) + b·F(g(t)). 2. Свойство сдвига по времени: для постоянной τ 3. Свойство сдвига по частоте: для постоянной z 0 4. Масштабирование 5. Преобразование производной Page 74
3. 9. Свойства преобразования Фурье 6. Преобразование интеграла Доказательство свойств: 1. Очевидно по свойству линейности интеграла: интеграл суммы равен сумме интегралов. 2. Доказывается заменой переменной Выполняем замену: u = t – τ, тогда du = dt , а пределы интегрирования не меняются. Получаем свойство Page 75
3. 9. Свойства преобразования Фурье 3. Доказываем элементарным преобразованием степени Page 76
3. 9. Свойства преобразования Фурье 4. Докажем заменой переменных. При а > 0 замена u = at При а < 0 та же замена u = at, при этом пределы интегрирования меняются на противоположные. Обратная замена пределов дает знак «минус» . Так получается свойство для общего случая. 5. Докажем применением замечательного предела Page 77
3. 9. Свойства преобразования Фурье 6. Не доказываем – для доказательства используется интегрирование по частям и сходимость интегралов. Page 78
Скачать презентацию 3 Преобразование Фурье 1 Преобразование Фурье 3
3_Fourier_Trans.ppt