§ 3. Предел функции
Пусть дана функция у = f(x), определенная на множестве значений аргумента, содержащего некоторую точку а. Рассмотрим -окрестность точки а, где - малое положительное число:
Пусть для значений х, достаточно близких к а, т. е. принадлежащих -окрестности точки а, соответствующие значения функции неограниченно приближаются к некоторому числу А. Это значит, что разность ( f(x) - A ) все время уменьшается. В этом случае число А называется пределом функции f(x) при x a.
О п р е д е л е н и е 1. Число А называется пределом функции у = f(x) при x a, если для любого сколь угодно малого найдется малое положительное , такое, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство
Будем обозначать Неравенство означает, что значения функции у = f(x) попадают в окрестность точки А на оси ОУ.
Из рис. следует, что, если число А есть предел функции при x a, то как только значения независимой переменной х попадут в -окрестность точки а, так сразу соответствующие значения функции попадут в -окрестность точки А, т. е. график функции будет целиком лежать в полосе шириной 2.
О п р е д е л е н и е 2. Число А называется пределом функции у = f(x) при x , если для всякого положительного сколь угодно малого найдется N( )>0 , что для всех значений х, удовлетворяющих условию будет выполняться неравенство
Односторонние пределы.
Введем определения так называемых “односторонних пределов”. Число B называется пределом справа функции f(x) в точке a (это записывается в виде формулы если для любого положительного числа найдется положительное число , такое что из условия 0 < x – a < будет следовать B – f(x) < .
Правила предельного перехода
1. Предел суммы (разности) двух функций, имеющих предел, равен сумме (разности) пределов этих функций: 2. Предел произведения двух функций, имеющих предел, равен произведению пределов этих функций: 3. Постоянный множитель можно вынести до знака предела:
4. Предел константы равен константе: 5. Предел отношения двух функций, имеющих предел, равен отношению пределов этих функций: 6. Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место
Теоремы о пределах
Теорема 1. (о двух милиционерах). Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т. е. если
Теорема 2. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥ 0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥ 0. Теорема 3. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы
