3 ПЛОСКОСТЬ Способы задания плоскости на чертеже Плоскость на комплексном чертеже может быть задана: 1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой: Г(А, В, С) на рис. 3. 1; 2. Точкой и прямой: Q( М, f) на рис. 3. 2; 3. Двумя параллельными прямыми: Ω(m//n), A и С принадлежат m, B принадлежит n на рис. 3. 1; 4. Двумя пересекающимися прямыми: F(e∩f) =К, К принадлежит f на рис. 3. 2; 5. Отсеком плоской фигуры: многоугольником, например ΔАВС на рис. 3. 1. 6. Своими следами (рис. 3. 3). М 2 m 2 f 2 А 2 С 2 K 2 n 2 e 2 В 2 e 1 n 1 В 1 K 1 f 1 m 1 А 1 С 1 Рис. 3. 1 М 1 Рис. 3. 2 1
Плоскость общего положения (Q задана своими следами. ) След плоскости – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. Линию пересечения плоскости Q с плоскостью П 1 обозначим Q 1 (горизонтальный след), с плоскостью П 2 – Q 2 (фронтальный след), с плоскостью П 3 – Q 3 (профильный след). Построим следы плоскости Q на комплексном чертеже. Z Z П 2 А 2 ≡ А 3 А Q 2 Q Q 3 П 3 В Х X Y В 2≡В 1 С 2 ≡ А 1 ≡ В 3 П 1 Q 1 С 3 С Y Рис. 3. 3 С 1 Y Отметим, что все способы задания плоскостей взаимозаменяемы, т. е. от первого способа легко перейти ко второму, третьему и т. д. Многие задачи решаются гораздо легче, если плоскость задана следами. 2
3. 1 Частное положение плоскости в пространстве К плоскостям частного положения относятся: 1) проецирующие плоскости – перпендикулярные одной из плоскостей проекций; 2) плоскости уровня – параллельные одной из плоскостей проекций. ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ Горизонтально-проецирующая плоскость, G (m ∩ n) П 1; α=900 П 2 n 2 G n m 2 K 2 m K Х Х β (K 1) n 1 K 1 m 1 П 1 Рис. 3. 4 3
Фронтально-проецирующая плоскость, Q(с ∩ b = M) П 2 β=900 Плоскость Q задана своими следами: Q 1 и Q 2. Причем, Q 1 OX. П 2 Q 2 ≡b 2 Q α Х b M 2 ≡ с2 П 1 с M 2 ≡ с2 Х Q 1 ≡ с1 α M≡M 1 b 1 M 1 Любая точка плоскости Q на фронтальной проекции Совпадает с фронтальным следом Q 2 Рис. 3. 5 4
Профильно-проецирующая плоскость, Г(n//m) П 3 γ=900 Z α + β = 900 n≡n 2≡Г 2 П 2 Г 3 Х n 3 β n≡n 2≡Г 2 П 3 0 Х Г Z m≡m 1≡Г 1 α m 3 Y m 2≡n 1 m≡m 1≡Г 1 П 1 Y Y Рис. 3. 6 5
ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ Особенностью плоскостей уровня является то, что любая плоская фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется без искажения, т. е. в натуральную величину. Горизонтальная плоскость уровня, Q (n//k) // П 1 П 2 α=00, β=900 γ=900, Q 2 ≡(n 2) ≡k 2 n k Q 2 ≡(n 2) ≡k 2 Q Х П 1 Х n 1 k 1 Рис. 3. 7 6
Фронтальная плоскость уровня, Г(а∩с) // П 2 Отметим, что горизонтальная проекция плоскости параллельна оси ОХ. Также отметим, что всякая прямая этой плоскости – фронталь. α=900, П 2 β=00, γ=900 а 2 а с2 с к 2 K Г Х Х п 2 п 1 к 1 П 1 Рис. 3. 8 а 1≡с1 7
Профильная плоскость уровня, F(АВСD) // П 3 α=900, β=900, γ=00 А 2 П 2 А А 3 D 2 П 3 В Х П 1 Z В 2 Х В 3 D 3 С 2 0 С 3 Y D 1 D С А 1 С 1 В 1 Рис. 3. 9 Y 8
3. 3 Принадлежность точки и линии плоскости (Основная позиционная задача) Задано: 1. Две проекции плоского четырехугольника; 2. Фронтальная проекция точки А ( А 2 ). F 2 Е 2 А 2 Найти: горизонтальную проекцию точки А 1. m 2 K 2 12 D 2 Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости, а прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости. Кроме того прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна любой другой прямой, лежащей в данной плоскости. Решение: 1. Проводим m 2// E 2 F 2, A 2 m 2; 2. Точка 12 E 2 D 2; 3. Строим 11 E 1 D 1; 4. Проводим m 1 // E 1 F 1; 5. Строим А 1 m 1. F 1 Е 1 11 А 1 m 1 K 1 D 1 Рис. 3. 10 9
Принадлежность точки и линии плоскости (задание плоскости следами) Дано: 1. Плоскость Р (Р 1, Р 2), 2. Фронтальная проекция точки К 2 (Рис. 3. 10. а). Найти: горизонтальную проекцию точки К 1. 22 1. Проведем через К 2 какую нибудь прямую. Р 2 2. Найдем горизонтальную проекцию прямой 11 21. 3. Найдем на ней горизонтальную проекцию точки К 1. К 2 21 12 К 1 11 Р 1 Рис. 3. 10. а 10
3. 3 Главные линии плоскости В плоскости кроме прямых общего положения можно отметить и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций. Это линии параллельные плоскостям проекций и линия наибольшего наклона плоскости (линия ската). Горизонталь прямая плоскости, параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1. Принятое обозначение – h. Отличительный признак горизонтали h 2//ОХ (ее фронтальная проекция параллельна оси). Горизонтальная проекция горизонтали проецируется без искажения. Фронталь прямая плоскости, параллельная фронтальной плоскости проекций П 2. Принятое обозначение f. Отличительный признак фронтали f 1//OХ (ее горизонтальная проекция параллельна оси). Фронтальная проекция фронтали проецируется без искажения. Линия ската – прямая плоскости, перпендикулярная горизонтали. С помощью линии ската определяют угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций. Для определения угла наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций необходимо методом прямоугольного треугольника определить натуральную величину линии ската. Угол между натуральной величиной линии ската и ее горизонтальной проекцией и будет искомым углом: =g 1∩(н. в. g), g 1 h 1. Рассмотрим построение главных линий плоскости на комплексном чертеже 11 (рис. 3. 11 и рис. 3. 12).
Главные линии плоскости h 1 // Q 1, f 2 // Q 2 В 2 Q 2 22 ∆Z h 2 // ОХ, f 1 // ОХ f 2 g 2 12 А 2 h 2 С 2 32 QХ Х ∆Z С 1 31 f 1 А 1 11 h 1 21 α g 1 В 1 Рис. 3. 11 f 1 Q 1 Рис. 3. 12 12
4 ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ Широкий круг геометрических задач инженерной графики подразделяется на позиционные и метрические. Позиционными называют задачи, где требуется установить взаимное положение и взаимную принадлежность рассматриваемых геометрических образов. Метрическими называют задачи на определение длин линий, расстояний, размеров, углов, площадей, объемов и др. Все задачи решают, выполняя в определенной последовательности графические операции, которые указываются в виде словесного описания или в формализованном виде с использованием символов. Такое описание хода решения задачи называют алгоритмом решения. Использование геометрического языка, составленного из обозначений и символов, в значительной мере упрощает запись задач. Символическая запись обладает большей информативностью, наглядностью, четкостью считывания и в наибольшей степени приковывает к себе внимание. Рассмотрим основные позиционные задачи на простейшие геометрические образы (точка, прямая, плоскость), которые являются базовыми при исследовании и конструировании сложных технических форм. К таким относятся задачи: • принадлежность точки и прямой плоскости; • взаимное расположение прямой и плоскости; • взаимная параллельность двух плоскостей; • пересечение прямой с плоскостью (первая позиционная задача); • взаимное пересечение двух плоскостей (вторая позиционная задача). 13
4. 1 Взаимное положение прямой и плоскости • Прямая линия относительно произвольной плоскости может занимать три положения: - принадлежать плоскости, - быть параллельной плоскости, - пересекать ее. Первый случай рассмотрен нами ранее, остановимся на остальных. 4. 1. 1 Прямая, параллельная плоскости d 2 А 2 Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой то прямой данной плоскости. n 2 ℓ 2 m 2 d 1 А 1 n 1 m 1 ℓ 1 Пусть дана плоскость (m ∩ n) (Рис. 4. 1). Проведем в этой плоскости произвольную прямую ℓ. Используя признак параллельности двух прямых, через точку А проведем d 1 параллельно ℓ 1, а d 2 параллельно ℓ 2. Согласно определению, прямая d параллельна плоскости . d // (m ∩ n) Рис. 4. 1 14
4. 1. 2 Пересечение прямой с плоскостью Прямая общего положения пересекается с плоскостью в некоторой точке – точке встречи. Рассмотрим схему решения задачи, которую часто называют первой позиционной задачей, на примере пересечения произвольной прямой АВ с плоскостью Σ (рис. 4. 2). Задача решается в такой последовательности: 1) Через заданную прямую проводят вспомогательную плоскость Q (желательно проецирующую). AВ Q. 2) Определим линию n пересечения заданной плоскости и вспомогательной плоскости Q. 1 -2 = Q ∩ , 1 -2=n. А 3) Отметим точку К на пересечении прямой АВ с линией n (1 2) пересечения 1 Q плоскостей Q и . К К = АВ ∩ 1 -2. Точка К, общая для прямой АВ и плоскости , является искомой точкой 2 встречи прямой АВ с плоскостью . В Рис. 4. 2 15
Решение первой позиционной задачи на эпюре Монжа. А 2 Пусть прямая АВ пересекается с плоскостью, заданной непрозрачным треугольником ДСЕ (рис. 4. 3). Определим точку пересечения прямой АВ с треугольником и определим видимость прямой. C 2 32≡ 42 52 Алгоритм решения задачи: 22 D 2 1) Через прямую АВ проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость Q. К 2 AB Q, E 2 12 А 1 11≡ 51 Определим видимость: К 1 D 1 21 31 В 1 Q 1 C 1 2) Построим линию пересечения треугольника ДСЕ с плоскостью Q. 11 -21=Q ∩ Д 1 С 1 Е 1, 1 ДЕ, 2 СЕ, следовательно, 12=11 -12 ∩ Д 2 Е 2, 22=21 -22 ∩С 2 Е 2. Тогда: 12 -22= Q ∩ Д 2 С 2 Е 2 3) Определим точку К пересечения прямой АВ с линией 1 2. Она и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с треугольником. К 2=12 -22 ∩ А 2 В 2, К 1=К 1 К 2 ∩ А 1 В 1, E 1 следовательно, К= АВ ∩ ДСЕ. В 2 41 Q П 1 A 1 B 1 , Q П 1. Рис. 4. 3 32≡ 42, Y 3>Y 4 , , следовательно (42). Участок прямой К 2 В 2 – видимый; К 242 – невидимый Аналогично определим видимость на П 1 11≡ 51 – конкурирующие точки. Z 5>Z 1, (11) невидимая. Участок прямой А 1 К 1 – видимый. (Прямая выше плоскости). Участок прямой К 121 – невидимый. (Прямая ниже 16 плоскости).
Рассмотрим решение первой позиционной задачи для плоскости, заданной следами. Q 2 Р 2 22 ∩ b 2 Повторим алгоритм решения: 1) Прямую b заключаем в проецирующую плоскость Q. b 1 Q 1, Отметим, что Q 2 OX. 2) Плоскость Q пересекается с заданной плоскостью Р по прямой линии. P ∩ Q = 1 -2. Найдем 1121 и 1222 К 2 12 Px 21 К 1 b 1 11 Р 1 Q 1 Рис. 4. 4 3) Отметим точку пересечения. b 2 ∩ 1222 = К 2 К 1 найдем на b 1 по линии связи 4) Видимость прямой b определить гораздо легче. Очевидно, участок прямой b левее К 2 и левее К 1 – видимый. (Для тренировки самостоятельно проверьте видимость прямой b методом конкурирующих точек) 17
4. 2 Взаимное положение двух плоскостей Две плоскости в пространстве могут пересекаться или располагаться параллельно другу. Рассмотрим оба случая. С 2 b 2 а 2 Если в одной плоскости можно провести две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым другой плоскости, то данные плоскости взаимно параллельны. На рис. 4. 5 плоскость Р задана пересекающимися прямыми Р = АВ ∩ СВ. Требуется через произвольную точку К провести плоскость, параллельную заданной. А 2 К 2 4. 2. 1 Взаимно параллельные плоскости В 2 В 1 С 1 А 1 а 1 К 1 b 1 Рис. 4. 5 Решение: 1) Через точку К проводим прямую a, параллельную плоскости Р. a 1 // A 1 B 1, a 2 // A 2 B 2, a // P(AB ∩ BC). 2) Аналогично проводим прямую b, b // P(AB ∩ BC) т. к. b 1 // B 1 C 1, b 2 // B 2 C 2. 3) Плоскость (а∩b) параллельна заданной плоскости Р(АВ∩ВС) и проходит через точку К. К , // P.
4. 2. 2 Пересекающиеся плоскости произвольного положения Линию пересечения двух плоскостей можно определить по двум их общим точкам. Для построения линии пересечения определяют точки пересече ния любых двух прямых линий одной плоскости с другой плоскостью, или точки пересечения любой прямой каждой из плоскостей с другой плоскостью. В общем случае линию пересечения двух плоскостей можно найти методом вспомогательных секущих плоскостей. Как правило выбирают проецирующие плоскости (горизонтальные или фронтальные). Пусть заданы две плоскости Р и Q произвольного положения (рис. 4. 6). Р Q D А T В С К S N Рис. 4. 6 Выбираем вспомогательную горизонтальную секущую плоскость Т. Она пересекает заданные плоскости по горизонталям, прямым АВ и СD, которые при своем продолжении пересекутся в точке К. Эта точка будет общей для плоскостей Р и Q, а значит она принадлежит и линии пересечения. Взяв вторую вспомогательную плоскость S, найдем другую точку N, общую для двух плоскостей. Так как через две точки можно провести только одну прямую, то линия КN и есть искомая линия пересечения двух плоскостей. KN = Р ∩ Q.
Рассмотрим решение этой задачи на эпюре Г. Монжа А 2 c 2 12 Т 2 Пусть даны две плоскости (рис. 4. 7). Q (a∩b), P (с//d). b 2 22 К 2 d 2 32 42 S 2 N 2 a 2 1) Проведем Т//П 1; А 1 d 2 11 a 1 b 1 31 21 N 1 Определим линию пересечения этих плоскостей. Алгоритм решения запишем в формализованном виде. 2) Т∩Q =1 -2, Т∩Р =3 -4, 1 а, 2 b, Построим 1121 и 3141. Продолжим отрезки, 1121∩ 3141= К 1, Отметим, что Р К Q – общая точка, 3) Аналогично проведем плоскость S//П 1 и найдем общую точку N. 41 4) Прямая NK и является линией пересечения плоскостей Q и P. NK = Q∩P c 1 К 1 Рис. 4. 7 20
Пересечение двух треугольников Пересечение плоскостей чаще приходится решать для двух треугольников. Тогда линию пересечения плоскостей удобно построить по точкам пересечения Σ 2 E 2 одной линии каждого треугольника с плоскостью второго, т. е. дважды решить 42 А 2 12 ≡ 52 В 2 первую позиционную задачу. Во многих учебниках задачу пересечения N 2 двух плоскостей называют второй М 2 позиционной задачей. 32 22 D 2 Рассмотрим это на примере. K 2 Пусть пересекаются два треугольника АВС и DЕК (рис. 4. 8). С 2 Q 1 С 1 E 1 31 11 N 1 М 1 D 1 51 А 1 41 21 s Рис. 4. 8 Решение: 1. Определим точку пересечения прямой АС с плоскостью DЕК. Для этого через прямую АС проведем фронтально проецирующую плоскость Σ. Построим линию 1 2 пересечения новой плоскости Σ c плоскостью DЕК. Отметим точку М встречи прямой АС с плоскостью DEK. М = АС ∩ (DЕК). 2. Аналогично определим точку встречи прямой ЕК с В 1 плоскостью АВС. N = ЕК ∩ (АВС). 3. Прямая МN – искомая линия пересечения двух треугольников. 4. Определим видимость треугольников методом K 1 конкурирующих точек. Пусть 12≡ 52. 1 DE, тогда 5 АС. Очевидно, что Y 5>Y 1, значит 52 – видимая, а с ней и А 252 М 2. Аналогично определим видимость на П 1. 21
Решение задачи существенно упрощается, если плоскости заданы следами Р 2 Q 2 N≡ N 2 К 2 Х Q 1 N 1 Решение: 1. Отметим, что горизонтальные следы плоскостей пересекаются в точке К, которая является горизонтальным следом искомой линии пересечения. P 1∩Q 1=K 1 Отметим, что K 1≡K, тогда К 2≡ОХ. 2. Аналогично, фронтальные следы P 2 и Q 2 плоскостей пересекаются в точке N, являющейся фронтальным следом искомой линии пересечения. N 2≡N, N 1≡OX. К 1 ≡К P 1 Рис. 4. 9 Рассмотрим пример. Пусть пересекаются две плоскости общего положения P и Q (рис. 4. 9). 3. Соединим одноименные проекции точек К и N, получим проекции линии пересечения плоскостей. N 1 K 1 и N 2 K 2. NK = P ∩ Q. 22
Скачать презентацию 3 ПЛОСКОСТЬ Способы задания плоскости на чертеже Плоскость
Лекция 3,4.ppt