3 Отображение V V Линейный оператор

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

§ 3. Отображение V > V. Линейный оператор. Матрица оператора. Тензорная алгебра. Итак, базис ei и кобазис ej порождают новые объекты — диады и для любого тензора однозначно определяются его компоненты в любом из диадных базисов При этом Из (3. 3) вытекает, что матрица любых (ковариантных, контравариантных, смешанных) компонент тензора T определяется базисом (кобазисом) и 1 действием тензора на векторы базиса (кобазиса).

Тензор это линейная комбинация диад. Любая диада u v – линейный оператор (линейное отображение) в V , действующий по правилу Поэтому тензор T тоже линейный оператор в V , ставящий в соответствие любому вектору a из V вектор Т a так же из V. Рассмотрим действие тензора T на векторы базиса вектор – его можно разложить по базису ej. Поскольку T ej Если b = T а, то с помощью этой же матрицы (Tji) осуществляется преобразование контравариантных компонент T : а —> b. В самом деле, или 2

Совершенно аналогично определяется матрица тензора T в кобазисе ej С помощью этой матрицы преобразуются ковариантные компоненты вектора при отображении T : а —> b или 3

Эквивалентное определение тензора Как уже отмечалось, тензор T - линейный оператор (линейное отображение) в V, поскольку он является линейной комбинацией диад Верно ли обратное: будет ли любое линейное отображение на V тензором? Пусть на V задана линейная векторнозначная функция векторного аргумента (линейное отображение) Тогда Очевидно, что 4

Следовательно, произвольный тензор T ранга два задает некоторое линейное отображение V —> V и наоборот. Определение. Линейное отображение T векторного пространства V в себя называется тензором ранга два. Вместо термина "линейное отображение" T часто используется термин "линейный оператор" T : V —> V. Соответствие позволяет существенную часть тензорной алгебры отождествить с алгеброй матриц. Пусть T, L — линейные операторы, которым в одном и том же базисе em соответствуют матрицы (Tij), (Lij). Произведение (композиция) операторов T, L определяется следующим образом. Если L : а —> w, T : w —> b, то М = TL : а —> b. Представим матрицу (T) в виде набора строк: T = (. . . T i. . . ), матрицу (L) в виде набора столбцов L = (. . . Lj. . . ). Тогда в соответствии с правилом умножения "строка на столбец" 5

В общем случае TL ≠ LT, в противном случае операторы T и L называют коммутативными. Если в (3. 12) M =E, то TL= E и оператор L=T -1 называется обратным к T. Очевидно, что T T -1= T -1 T и (T -1) = (T ) -1. Пусть em — старый базис, êm — новый и, например, Пусть также (T ) — матрица оператора T в старом базисе новом em , (Ť ) — в êm. В соответствии с (3. 13), (3. 4) С другой стороны, из (3. 5) вытекает, что и поэтому Следовательно, 6

Если переход к новому базису определять с помощью матрицы (B) преобразования контравариантных компонент вектора u из V то в силу (1. 24) (B ) = (A)-1 и (3. 14) можно переписать следующим образом Итак, матрицы линейного оператора (тензора ранга два) в различных базисах подобны. Как это следует из рассуждений, приводящих к (3. 14), в качестве (A) в (3. 14) можно выбрать любую невырожденную матрицу (С ), задающую в какой-либо форме переход от старого базиса к новому. Поэтому каждому линейному оператору T : V —> V соответствует класс матриц (Ť), связанных с (T ) соотношениями подобия. 7

Сопряженный оператор Оператор (тензор) T* называется сопряженным к оператору (тензору) T, если (тензор) T называется самосопряженным (симметричным), если T = T*. Для любого линейного оператора T существует единственный сопряженный оператор T*. Действительно, для любого u из V справедливо разложение u = umem =(u • em)em и поэтому, если T* существует, то в соответствии с (3. 16) Оператор Из (3. 17) следует, что заданный линейный оператор T порождает единственный линейный оператор T*. Понятно также, что эквивалентным определению T* из (3. 16) будет являться определение T* с помощью (3. 17). Ясно, наконец, что если T : V —> V, то и T* : V —> V. Однако здесь 8 уместны некоторые комментарии.

Напомним операторов. некоторые общие положения из теории линейных Множество векторов a из V, для которых T а = 0, называется ядром оператора T : ker. T. Множество векторов b из V таких, что b = T а хотя бы для одного вектора a из V, называется образом оператора T : I m T. Легко проверяется, что ker. T и I m T - подпространства V Разложим V в прямую сумму подпространств где DT дополнение ядра до V. В соответствии с (3. 18) для любого a из V будем иметь Если b принадлежит I m T , то существует a из V такой, что b = T а Поэтому любой вектор b из im T имеет хотя бы один прообраз из DT. 9

Этот прообраз является единственным так как общим подпространств DT и ker. T является только нулевой вектор: для Таким образом, линейный оператор T устанавливает взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) между векторами подпространств DT и Im. T. Если размерность (число линейно независимых векторов) пространства V есть n = dim V=3, то теперь из (3. 18) следует Оператор T называется невырожденным, если dim(ker. T)=0. Такой оператор любой базис V переводит в базис V , каковым можно считать систему векторов Tem из (3. 17). Невырожденность линейного оператора T влечет за собою невырожденность оператора T *, ибо в противном случае из (3. 17) вытекало бы существование ненулевого вектора v из V, ортогонального всем векторам базиса V. Итак, для невырожденного оператора T 10 dim(im. T) = dim(im. T*) =n.

(dim ker. T ≠ 0) оператора доставляет диадный u, v из V. Действительно, по определению Пример вырожденного оператор T=u v, и оператор T отображает произвольный вектор a из V в одномерное подпространство, натянутое на вектор диады u. Поэтому Поскольку то в силу определения (3. 16) сопряженным к оператор T=u v будет диадный T*= v u. Этот оператор также является вырожденным и 11

Линейная комбинация диадных операторов u v , p s приводит к вырожденному оператору (u не параллелен p, v не параллелен s ) В этом случае kerŤ есть одномерное подпространство, натянутое на вектор ортогональный плоскости векторов v, s. На сей раз Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы уточнить разложение (3. 18). Итак, пусть задан линейный оператор b = Tа, T : V —> V. Тогда a из ker. T, то Ta = 0 , а значит a∙T* b = 0 для любого b. Это означает, что Im. T∗ есть подпространство, ортогональное к ker. T. Если В свою очередь подпространство Im. T ортогонально к ker. T∗. 12

• Из • Разложим DT следующим образом • и покажем, что • В самом деле, пусть • Но • В частности для a=c, т. е. (c, с)=0, а, следовательно, с=0. Поэтому • И окончательно имеем разложение 13

Фигурирующие в (3. 20) ортогональные подпространства, порождаемые линейными операторами T , T∗ играют важную роль в теории линейных операторных уравнений Именно в терминах этих подпространств обычно формулируется классическая теорема Фредгольма. Теорема Фредгольма. Необходимым и достаточным условием разрешимости (совместности) линейного операторного уравнения (3. 21) является ортогональность f к ядру оператора T∗. Таким образом, для совместной задачи (3. 21) f из Im. T, т. е. (f, φ) = 0, для любого φ из ker. T∗ : T∗ φ = 0. Если ker. T = 0, то задача (3. 21) однозначно разрешима. Если f из Im. T, но ker. T≠ 0, то решение задачи (3. 21) существует и определяется с точностью до произвольного элемента ядра оператора T (решение неединственно). Если же f не из Im. T, то задачу (3. 21) называют несовместной, 14 решение такой задачи в обычном смысле и не существует.

Как уже установлено, из невырожденности оператора T вытекает невырожденность оператора T∗, т. е. существование T-1 влечет за собой существование [T∗] -1. Связь между двумя последними операторами (тензорами) задается следующим образом Действительно, если b, v из V — произвольные векторы, то единственным образом определяются векторы a, u из V такие, что T a = b, T∗ u = v. Поэтому Ввиду произвольности векторов b, v (3. 22) следует теперь из (3. 23). Далее, для произвольных векторов u, v из V по определению (3. 16) имеем или 15

Установим связь между матрицами, составленными из различных компонент тензоров T и T∗. Используя полученные ранее формулы для ковариантных и контравариантных компонент тензора и определение сопряженного тензора, получаем Т. о. если речь идет о матрицах ковариантных или контравариантных компонент тензора T* в диадных базисах ei ej, ei ej то матрицы одноименных компонент тензоров T и T* связаны между собою операцией транспонирования. Иная ситуация имеет место для смешанных компонент тензоров T и T∗ в диадных базисах ei ej, ei ej , которые определяют матрицы тензоров (операторов) T и T∗ в базисе или кобазисе. Установим связь между смешанными компонентами тензоров T и T∗ , способом отличным от предыдущего 16

Поэтому Аналогично и следовательно Ранее получено поэтому 17

Таким образом, если оператор (тензор) T в базисе (кобазисе) задан матрицей (T ), то оператор (тензор) T* в кобазисе (базисе) задан матрицей (T )’, транспонированной к (T ). Базис ej совпадает с кобазисом ej тогда и только тогда, если он ортонормированный. В этом случае матрицы не различаются. Итак, если для тензора T ранга два а для cопряженного тензора T* То Тензор T называется симметричным, если T = T* и антисимметричным (кососимметричным), если T = -T*. В этих случаях справедливо 18

Отсюда, в частности, вытекает, что для кососимметричного тензора Произвольный тензор T T единственным образом представляется в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров Из этого представления вытекает, что, а поэтому где тензора D и С определены в (3. 27). Для произвольной квадратной матрицы (A)=(ai j) след матрицы: tr(A) определяется следующим образом 19

Определим след диадного тензора u v следующим образом Учитывая выражения для скалярного произведения, след u v можно вычислить одним из следующих способов Полагая, что след суммы равен сумме следов, из (3. 30)-(3. 31) получаем, что для произвольного тензора T ранга два или Таким образом, след тензора T совпадает со следом любой из матриц смешанных компонент в диадных базисах ei ej, ej ei и следами матриц тензора в базисе ei и кобазисе ej. 20

Ранее было отмечено, что, если M =T L, то для матриц тензоров в базисе ei и смешанных компонент в диадном базисе ei ej справедливо Получим соотношения для смешанных компонент другим способом 21

Пусть далее тензор M= T L, где T - симметричный тензор T = T *, L кососимметричный L = - L *. Докажем , что тогда tr M =0 С помощью операции tr можно ввести скалярное произведение тензоров Тогда для "квадрата длины тензора T " будем иметь Каждый тензор ранга два можно интерпретировать как n 2 -мерный вектор, где n =dim V. Тогда (3. 34) при соответствующем введении базиса превращает множество тензоров ранга два в n 2 -мерное векторное 22 евклидово пространство.

В связи и с понятием сопряженного оператора, приведем пример важного и часто используемого в вычислительных алгоритмах оператора. Пусть задан линейный оператор (тензор ранга два) при отображении v = Q : V —> V. Если Q u сохраняется длина вектора u, т. е. то линейный оператор (тензор) Q называется ортогональным. Для ортогонального оператора Q условие (3. 36) дает (доказать) За определение ортогонального оператора можно принять второе из соотношений (3. 37) (доказать). Из (3. 35) вытекает, что Если Ť= T Q , то из (3. 35) вытекает также и 23

Роль ортогональных операторов (тензоров) в приложениях трудно переоценить уже хотя бы по той причине, что для линейного операторного уравнения (3. 21) при T= Q, Q∗Q = E имеем В качестве достаточно простого примера ортогонального оператора приведем оператор отражения Очевидно, что оператор H самосопряженный, т. е. H = H∗. Далее и тогда Таким образом, H = H ∗ и H ∗H = E. 24

Свертка тензоров Определим, наконец, операцию свертки, которая специфична именно для тензорных объектов. Суть этой операции заключается в том, что у компонент тензорных объектов приравниваются разноименные индексы, в результате последние становятся индексами суммирования. Например Рассмотрим более сложные примеры В этих примерах сначала из двух тензорных объектов получают новый объект путем умножения каждой компоненты первого тензорного объекта на каждую компоненту второго. Упражнение. Доказать, что получаемый таким способом новый объект тоже является тензором. Затем у компонент полученных новых тензорных объектов приравниваются разноименные индексы, в результате последние становятся индексами суммирования. Упражнение. Доказать, что операция свертки приводит к новому 25 тензорному объекту меньшего ранга.

Таким образом, жонглирование индексами есть результат умножения каждой компоненты некоторого тензора на каждую компоненту метрического тензора и дальнейшей свертке по паре индексов различных типов. Далее (см. (2. 21), (3. 34)), Поэтому скалярное произведение тензорных объектов, заданных "смешанными" компонентами, можно рассматривать как результат умножения этих объектов и последующего свертывания. Если перемножаются тензорные объекты, заданные компонентами одного типа, то в соответствии с (3. 40) это умножение следует дополнить умножением на метрический тензор и провести свертку по паре индексов. И, наконец, приведем здесь формулы (3. 6), (3. 12), которые уже не нуждаются в комментариях 26

Теорема о делении тензоров (Тензорный критерий). На пальцах Пусть свертывание каких-либо индексных величин A(αi) с компонентами тензора B(βj) приводит к компонентам тензора C(γт). Тогда рассматриваемые величины A(αi) являются компонентами тензора. Тип этих компонент (ковариантный, контравариантный, смешанный) определяется типом индексов тензоров B(βj) и C(γт). Применение этого критерия позволяет определять тензорный характер величин не используя исходное определение тензора. Ранее были рассмотрены операции умножения тензоров, приводящие в результате к тензору: На пальцах – произведение тензоров есть тензор. В теореме На пальцах говорится, что при делении тензора на тензор получаем тензор: 27

Теорема о делении тензоров (частный случай) • Пусть в любой системе координат заданы чисел • Если для любого вектора заданного контравариантными компонентами величина есть ковариантные компоненты вектора, то ковариантные компоненты тензора ранга 2 : • Доказательство. • Суммируем по 28

Варианты формулировок теоремы о делении тензоров, следствия и примеры применения Теорема о делении тензоров (вариант) Пусть в любой системе координат заданы n 3 чисел A ij k. Если для любого тензора ранга два, заданного контравариантными компонентами B j k величина A ij k B j k есть контравариантные компоненты тензора ранга один (вектора), то величины A ij k есть составляющие (компоненты) тензора ранга 3 один раз контравариантного и два раза ковариантного. Теорема о делении тензоров (вариант) Пусть в любой системе координат заданы n 2 чисел Ai j. Если для любых двух векторов, заданных контравариантными компонентами u i и v j величина f= Ai j u iv j является инвариантом, то величины Ai j есть ковариантные компоненты тензора ранга 2. Следствие Пусть в любой системе координат заданы n 2 чисел Ai j. Если для любого вектора, заданного контравариантными компонентами u i величина f= Ai j u iu j является инвариантом , то величины Bi j =½(Ai j+ Aj i ) есть ковариантные компоненты тензора ранга 2. 29

Следствие из следствия Пусть в любой системе координат заданы n 2 чисел Ai j , причем Ai j = Aj i. Если для любого вектора, заданного контравариантными компонентами u i величина f= Ai j u iu j является инвариантом , то величины Ai j есть ковариантные компоненты тензора ранга 2. • Пример применения теоремы о делении тензоров • Рассмотрим длину вектора • Т. о. в любой системе координат определены величины • Ясно, что длина вектора инвариант и от системы координат не зависит. • Тем самым все условия Следствие из следствия выполнены и величины gij есть ковариантные компоненты тензора ранга 2. 30

Если рассматривать тензор ранга два T как линейный оператор T при отображении V —> V, то особый интерес представляют такие векторы φ, которые тензором T преобразуются в векторы, отличающиеся от исходных только числовым множителем λ, т. е. Векторы φ из (3. 43) называют главными (собственными) векторами тензора T, а соответствующие им числа λ - главными (собственными) значениями. Соотношение (3. 43), которое можно переписать в виде (T - λG)φ = 0 порождает четыре различных по форме уравнения Однако в силу (2. 18), (2. 19) И, наконец, 31

Матрицы из (3. 45)-(3. 47) связаны между собой следующим образом. Умножая матрицу составленную из одного сорта компонент, на матрицу составленную из соответствующих компонент метрического тензора получаем матрицу, составленную из компонент другого сорта. Схематично, например для (3. 46), эту связь можно изобразить так Но тогда и, следовательно, левая часть равна нулю тогда и только тогда, когда равна нулю правая. Из этого рассуждения вытекает, что уравнения (3. 44) имеют одинаковые корни. Для определенности под матрицей тензора T - λG будем понимать его матрицу в базисе, что соответствует заданию собственного вектора φ контравариантными компонентами и характеристическому уравнению Основным для дальнейшего будет случай, когда dim V = 3 и T = T*. Последнее означает, что корни характеристического уравнения (3. 48) 32 вещественны.

Раскрывая (3. 48) по степеням λ, получим Где Или по теореме Виета Корни характеристического уравнения λi не зависят от базиса, в котором тензор T представлен матрицей (T ). Поэтому скалярные величины J 1, J 2, J 3 не зависят от системы координат, т. е. являются инвариантами тензора T. Однако от выбора базиса зависит структура матрицы тензора T и естественно поставить задачу об отыскании базиса (канонического), в котором (T ) имеет наиболее простую структуру. Пусть в λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3. Тогда Поэтому главные (собственные) векторы симметричного тензора T, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Это 33 влечет за собой линейную независимость системы φ1, φ2, φ3.

Выберем φi за базис и вычислим матрицу (T) в этом базисе. Если b=Ta, то что в матричной записи означает (сравни с (3. 6)) Если φi - базис, то кобазис φj однозначно определяется из φi · φj= δij. Но T=T*, поэтому, как мы видели φi·φj=0. Если дополнительно считать векторы φi единичными: φi·φi=1, то базис φi и кобазис φj не различаются. Базис, составленный из единичных собственных (главных) векторов тензора T называется каноническим. Матрица (T ) тензора T в этом базисе — диагональная, т. е. а тензор (T)=Λ=diag(λi). Кроме того, T в диадном базисе представляется следующим образом 34

Пусть снова λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 , но T ≠ T*. И в этом случае система главных векторов тензора T является линейно независимой. Действительно, из Поэтому Поскольку a определитель систем (λ 2 – λ 1)(λз – λ 1)(λ 3 – λ 2) ≠ 0, то Но, по определению, собственный вектор не нулевой. Тогда α=β=γ=0. Поэтому за базис можно принять систему главных векторов тензора T. Покажем, что за кобазис φj следует взять систему главных векторов тензора T*: T*φ j = µj φ j. Для этого необходимо показать, что φi·φj = δij , 35 т. е. что такой выбор соответствует стандартному определению.

В самом деле, пусть µ собственное число, а ψ, отвечающий ему собственный вектор. Тогда Если µ не равен ни одному из λi. i=1, 2, 3, то получаем, что ψ ортогонален φi. Следовательно ψ=0. Но это противоречит тому, что ψ собственный вектор. Поэтому существует j , такое, что µ = λj. Положим тогда µj = µ , φj = ψ. При такой нумерации главных векторов тензора T* имеем µj = λj. j=1, 2, 3, и всем векторам базиса φi , φj определены с точностью до нормировки. Можно считать, что φi·φi =1. Следовательно, действительно φi·φj = Системы векторов δij. Матрицы тензора T в базисе (T. ji·) и в кобазисе (Ti. ·j) являются диагональными: (T. ji·) = Λ = (Ti. · j), а для диадного представления тензора T будем иметь 36

В случае кратных собственных значений приведем здесь только диадные представления симметричного тензора T. Если λ 1 ≠ λ 2 = λ 3, то Если, наконец, λ 1 = λ 2 = λ 3, то Но тогда для произвольного u из V справедливо Tu = λ 1 u, т. е. u является собственным вектором тензора T. В этом случае симметричный тензор называют шаровым. Для такого тензора справедливо представление G – метрический тензор. T=λG, где λ - скаляр, 37

Скачать презентацию 3 Отображение V V Линейный оператор

параграф 3 полный.ppt

Количество слайдов: 37