3 Определитель матрицы Определителем второго порядка

§ 3. Определитель матрицы

Определителем второго порядка матрицы А= Δ= называют число

Определителем третьего порядка матрицы А= называют число Δ=

Минором Мij соответствующего элемента матрицы называют определитель этой матрицы, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Пример: найти миноры матрицы

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называют минор этой матрицы, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент – четная, и с противоположным знаком, если данная сумма – нечетная, т. е. Аij=(-1)i+j • Mij

Пример: найти алгебраические дополнения матрицы

Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если А • А-1=А-1 • А=Е. Для нахождения обратной матрицы необходимо: 1. Найти определитель матрицы А. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. 2. Найти алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А. Составить из них матрицу А‘. 3. Матрицу А‘ транспонировать. 4. Разделить транспонированную матрицу на величину определителя (или умножить на 1/Δ).

Пример: найти обратную матрицу к данной

Свойства определителей матрицы 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками. 2. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

Свойства определителей матрицы 4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак. 5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Свойства определителей матрицы 6. (Разложение определителя по строке или столбцу): определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример: найти определитель матрицы