3 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 1

3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 1

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка называют уравнения вида a 0(x) y(n) + a 1(x) y(n-1) + …+ an-1(x) y' + an(x) y = b (x) , (1) где a 0(x), a 1(x), …, an(x) и свободный член b(x) – заданные функции аргумента x и a 0(x) 0. Если ai (x) = const, i = 1, …, n , то уравнение называется линейным ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Если b (x) 0, то уравнение называется линейным однородным. Если b (x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью). . 2

Так как a 0(x) ≢ 0 , то уравнение (1) можно записать в виде: y(n) + p 1(x) y(n – 1) + … + p n – 1(x) y + p n(x) y = f (x). (2) Уравнение (2) называют приведенным. Уравнение (2)-линейное неоднородное уравнение. В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением. Кроме того, будем предполагать, что p i(x) (i = 1, 2, …, n) и f (x) непрерывны на некотором отрезке [a; b]. Тогда для уравнения (2) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения. Следовательно, x 0 [a; b] и y 0 , y 0 i ℝ существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию y(x 0) = y 0 , y (x 0) = y 01 , y (x 0) = y 02 , … , y(n– 1)(x 0) = y 0 n– 1. 3

Линейные ДУ высшего порядка Если f (x) 0, то уравнение (1) принимает вид: y(n) + p 1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = 0 -ЛОДУ (3) Свойства решений ЛОДУ в п. v 1. Если y 1 (x) – решение ЛОДУ в п y(n) + p 1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = 0 , (3) то функция y = C y 1 (x), где С = const, тоже является решением этого ДУ. v 2. Если y 1 , y 2 – решения ЛОДУ в п (2), то функция (y 1 + y 2) – тоже является решением этого ДУ. v 3. Если y 1 , y 2, …, y k – решения ЛОДУ в п (2), то функция (С 1 y 1 + С 2 y 2 + Сk y k) – тоже является решением этого ДУ для любых постоянных С 1, С 2, …, Сk. 4

Линейно зависимые и линейно независимые функции Пусть система из n функций y 1, y 2, …, yn – определена и непрерывна на интервале (a, b). Определение. Функции y 1, y 2, …, yn называются линейно зависимыми на (a, b) если существует числа 1, 2, …, n R такие, что на этом интервале выполняется тождество 1 y 1 + 2 y 2 +…+ n yn 0, (4) причем хотя бы одно i 0. Если тождество (4) справедливо лишь при 1 = 2 =…= n = 0, то функции y 1, y 2, …, yn называются линейно независимыми на (a, b). 5

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО Определение. Определитель Вронского (вронскиан) функций y 1, y 2, …, yn , определенных и (n -1) раз дифференцируемых на интервале (a, b) – это определитель порядка n следующего вида: . 6

Теорема 1. (необходимые условия линейной зависимости функций) Если функции y 1, y 2, …, yn линейно зависимые и имеют производные до (n-1)-го порядка, то их определитель Вронского тождественно равен нулю. Теорема 2. Если n решений y 1, y 2, …, yn ЛОДУ высшего порядка (3) линейно независимы на (a, b), то их определитель Вронского не может обращаться в ноль ни в одной точке интервала (a, b). Следствие. Определитель Вронского системы функций y 1, y 2, …, yn , являющихся решениями ЛОДУ в. п. (3), либо тождественно равен нулю, если система решений линейно зависима, либо не обращаться в ноль ни в одной точке, если система решений линейно независима. 7

Структура общего решения ЛОДУ Определение. Система n линейно независимых решений ЛОДУ n – го порядка называется его фундаментальной системой. (Ф. С. Р. ) Теорема 3. (О структуре общего решения ЛОДУ ) Если функции y 1 (x), y 2 (x), …, y n (x) , x (a, b) – образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (3) на интервале (a, b), то , y (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) +…+cn yn (x) (5) где ci – const, является общим решением этого уравнения. 8

ЛОДУ с постоянными коэффициентами Определение. Линейными однородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами называют уравнения вида y(n) + p 1 y(n-1) + …+ pn-1 y' + pn y = 0 , (6) где коэффициенты p 1 , p 2 , …, pn-1 , pn – const. Частные решения будем искать в виде: y = ekx Определение. Уравнение (7) kn + p 1 k n-1 + …+ pn-1 k + pn = 0 (8) называется характеристическим уравнением ЛОДУ с постоянными коэффициентами, а многочлен kn + p 1 k n-1 + …+ pn-1 k + pn – характеристическим многочленом. 9

y(n) + p 1 y(n-1) + …+ pn-1 y' + pn y = 0 , (6) Решения уравнения (6) будем искать в виде y = ekx , где k – некоторая постоянная. Имеем: y = k ek x , y = k 2 ekx , y = k 3 ekx , … , y(n) = kn ekx. Подставляем y , y , … , y(n) в уравнение (6) и получаем: kn ek x + p 1 kn – 1 ek x + … + pn – 1 k ek x + pn ek x = 0 kn + p 1 kn – 1 + … + pn – 1 k + pn = 0 - характеристическое уравнение ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 10 (8)

Алгоритм решения ЛОДУ n-го постоянными коэффициентами v v 1. Составить характеристическое уравнение kn + p 1 kn – 1 + … +pn – 1 k + pn = 0 2. Найти его корни k 1, k 2, …kn. 3. По характеру корней найти частные линейно независимые решения y 1(x), y 2(x), … , yn(x) (Ф. С. Р. ) согласно таблице 4. v 4. Записать общее решение y(x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) +…+ Cn yn (x). 11

12

13

14

Примеры 15

Пример 16

Пример 17

ЛНДУ с произвольными коэффициентами Пусть ЛНДУ имеет вид y(n) + p 1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = f(x), (2) где p 1 (x), p 2(x), …, pn (x), f(x) – заданные функции аргумента x, причем f(x) 0. Теорема 4. (О структуре общего решения ЛНДУ) Общее решение ЛНДУ есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. При n = 2, ЛНДУ 2 -го порядка y'' + p 1(x) y' + p 2(x) y = f(x). 18

ЛНДУ с произвольными коэффициентами Теорема 5. (Принцип суперпозиции решений) Если функции y i (x) – являются решениями ЛНДУ y (n) + p 1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + p n (x) y = f i (x), (9) то функция y = 1 y 1 + 2 y 2 +…+ k yk является решением уравнения y(n) + p 1(x) y(n-1) + …+ pn(x) y = 1 f 1 (x) + 2 f 2(x) +…+ k fk (x). (10) При n = 2, ЛНДУ 2 -го порядка y'' + p 1(x) y' + p 2(x) y = 1 f 1 (x) + 2 f 2(x). 19

ЛНДУс постоянными коэффициентами Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами y(n) + p 1 y(n-1) + …+ pn-1 y' + pn y = f (x) , (11) где коэффициенты p 1 , p 2 , …, pn-1 , pn – const. Метод неопределенных коэффициентов можно применить, если правая часть имеет вид f (x) = e px [Pm (x) cos q x +Ql (x) sin q x], где Pm (x) и Q l (x) – многочлены степени m и l 20

Форма частного решения 21

ЛНДУ n-го порядка Замечание 1. Степени многочленов Pm (x) и Q l (x) в случаях 3, 4 таблицы 5 можно считать одинаковой (max {m, l}). В этом случае коэффициенты при недостающих степенях одного из многочленов можно считать равными нулю. Замечание 2. Правая часть уравнения может содержать несколько слагаемых; в этом случае частное решение также составляется из нескольких слагаемых в соответствии с теоремой 5. 22

ПРИМЕР • Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 23

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y(n) + p 1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = b(x), (2) Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ y(n) + p 1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = 0, (3), то можно найти и общее решение ЛНДУ (2). Действительно, пусть y 1 , y 2 , … , yn – ф. с. р. уравнения (3). Тогда его общее решение будет иметь вид y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + … + Cn yn , (12) где C 1 , C 2 , … , Cn – произвольные постоянные. Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ, т. е. имеет вид y = C 1(x) y 1 + C 2(x) y 2 + … + Cn(x) yn , (13) где C 1(x) , C 2(x) , … , Cn(x) – некоторые функции. 24

Функции C 1(x) , C 2(x) , … , Cn(x) должны удовлетворять системе (14) – система n линейных уравнений с n неизвестными. Ее определитель – определитель Вронского W[y 1 , y 2 , … , yn ]. 25

Так как y 1 , y 2 , … , yn образуют ф. с. р. однородного уравнения, то по теореме 2 W[y 1 , y 2 , … , yn ] 0 , x [a; b]. система (14) совместна и имеет единственное решение: Откуда получаем где C i – произвольные постоянные. Общее решение неоднородного уравнения тогда имеет вид y = C 1(x) y 1 + C 2(x) y 2 + … + Cn(x) yn , (13) Изложенный выше метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка получил название метода вариации произвольных постоянных. 26

Алгоритм решения ЛНДУ n-го порядка методом вариации произвольных постоянных v 1. Найти ФСР ЛОДУ соответствующего ЛНДУ и записать его общее решение: y (x) = C 1 y 1(x) + C 2 y 2(x) +…+ Cn yn (x). v 2. Записать решение ЛНДУ в форме общего решения ЛОДУ, считая C i = C i (x), i = 1, 2, …, n : y (x) = C 1 (x) y 1 (x) + C 2 (x) y 2(x) +…+ Cn (x) yn (x). v 3. Построить систему для определения C i' (x) и решить ее согласно (14). v 4. Найти Ci (x) и подставить их в общее решение ЛНДУ (13). 27

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 28

4. 1. Основные понятия 29

Основные понятия 30

Основные понятия 31

Основные понятия 32

4. 2. Методы решения систем 33

Пример 34

4. 1. 2. МЕТОД ЭЙЛЕРА САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!! СМ. , НАПРИМЕР, Д. Т. ПИСЬМЕННЫЙ «КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ» : ПОЛНЫЙ КУРС Глава 10, параграф 52. Системы дифференциальных уравнений. 35

36

КОНЕЦ ЛЕКЦИЙ ПО ДИФ. УРАВНЕНИЯМ И СИСТЕМАМ ДИФ. УРАВНЕНИЙ. 37

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 38

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. 39

Мнимая единица 40

1. Понятие комплексного числа 41

Равенство двух комплексных чисел ОПРЕДЕЛЕНИЕ • Пусть z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2. • z 1 = z 2 если 42

Алгебраическая форма записи комплексного числа 43

2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 44

Действия над комплексными числами в алгебраической форме 45

Действия над комплексными числами в алгебраической форме 46

Действия над комплексными числами в алгебраической форме 47

48

4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 49

50

Тригонометрическая форма комплексного числа 51

Тригонометрическая форма комплексного числа 52

53

54

Примеры 55

Примеры 56

Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической • Z = x+ iy , • • Пример. • Представить в тригонометрической форме комплексное число: • Z= 1+i. x=1, y=1. 57

Пример • Представить в тригонометрической форме комплексное число: • Z= 1+i- алгебраическая форма к. ч. • Решение. • тригонометрическая форма комплексного числа. 58

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме 59

60

Показательная форма записи комплексного числа 61

Действия над комплексными числами в показательной форме 62

Действия над комплексными числами в показательной форме 63

Возведение в степень и извлечение корня 64

Пример 65

КОНЕЦ ЛЕКЦИИ ПО КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛАМ 66

67

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ 68

Определение предела последовательности КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 69

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ К. Ч. 70

Расходящаяся последовательность. Бесконечно удаленная точка 71

Бесконечно удаленная точка 72

73

ЛЕКЦИЯ № 4 74

Расширенная комплексная плоскость 75

76

ЗАМЕЧАНИЕ 77

ПРИМЕР 78

ЗАМЕЧАНИЕ • Основные понятия теории функций – предел функции, непрерывность функции и соответствующие им теоремы переносятся на функции комплексной переменной. Отличия начинаются в понятии производной. 79

ЗАМЕЧАНИЕ • Смотри подробнее самостоятельно в книге: Письменный Конспект лекций по Высшей математике. Пункт 74. 2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. ( стр. 526 -527). 80

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 81

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 82

ПРИМЕР 83

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 84

ПРИМЕР 85

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 86

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 87

пример 88

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 89

• ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 90

ПРИМЕР 91

ЛЕКЦИЯ № 5 92

• Общая степенная функция 93

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Arcsinz , Arccosz , Arctgz , Arcshz , Arcchz , Arcthz , Arccthz (САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!)

Основные элементарные функции w=f(z) w = zn Доказательство w = |z|n (cos nj + i sin nj ) w = ez w= ex eiy = w = Lnz заполнить w = zp, p C ex (cos y + i sin y ) ln|z|+i(argz+2 pk) заполнить w=sinz w=cosz w = u + iv заполнить w=tgz w=ctgz w=shz w=chz заполнить w=Arcsinz w=Arccosz заполнить w=Arctgz w=Arcctgz 95

§ 4. Дифференцирование функции комплексной переменной • Опр. Пусть однозначная функция w = f(z) определена в точке z и некоторой ее окрестности. Тогда предел • если он существует, наз. производной функции f(z) в точке, а функция f(z) наз. дифференцируемой в точке z. 96

Дифференцирование функции комплексной переменной Пусть однозначная функция w = f(z) определена в точке z и некоторой ее окрестности. Этот предел называется производной функции w = f(z) в точке z и обозначается 97

Теорема. Условия Коши-Римана. (Необходимые условия дифференцируемости) Если функция w = f(z) дифференцируема в точке z, то её действительная и мнимая части обладают частными производными первого порядка, которые удовлетворяют условиям Коши – Римана: Доказать и (4. 2) Теорема. (Достаточные условия дифференцируемости) Если действительная u(x, y) и мнимая v(x, y) части функции w = f(z) в точке z имеют полные дифференциалы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то функция f(z) = u(x, y) + i v(x, y) дифференцируема в точке z. ОПР . Функция f(z) называется дифференцируемой в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Все правила и формулы дифференцирования функций действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного. 98

УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА 99

• Пример 100

Аналитическая функция ОПР. Функция w = f(z), однозначная и дифференцируемая во всех точках области D, называется аналитической в этой области. ОПР. Функция w = f(z) называется аналитической в точке z, если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична. Обратить внимание!!! аналит. =дифф. аналит. >дифф. D В области В точке 101

Гармонические функции ОПР. Уравнение вида называется уравнением Лапласа. ОПР . Действительная функция двух действительных переменных j(x, y), непрерывная в области D, имеющая непрерывные частные производные второго порядка, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической в области D. Теорема . Действительная и мнимая части аналитической функции в области D являются гармоническими в этой области. ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО 102

Геометрический смысл производной 103

Геометрический смысл производной 104

Геометрический смысл производной 105

Геометрический смысл модуля и аргумента производной 106

ПРИМЕР 107

Геометрический смысл модуля и аргумента производной • Теорема. • Если в точке z 0 производная аналитической функции не равна нулю, то все бесконечно малые дуги, выходящие из точки z 0 , при отображении поворачиваются на один и тот же угол, равный аргументу производной, и получают одно и то же растяжение, равное модулю производной. 108

Геометрический смысл модуля и аргумента производной Отображение f достаточно малой окрестности точки z 0 сводится к повороту на угол равный arg( f ’( z 0 )) и к преобразованию подобия с коэффициентом подобия k = | f ’( z 0 ) |. Показать g 1 Q z 0 g 2 j = arg( f ’( z 0 )) g 1 Q z 0 f g 2 109

110

ЛЕКЦИЯ № 6 111

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 112

113

114

115

116

117

118

119

Непосредственное интегрирование 120

Пример • Вычислить интеграл. 121

Пример 122

Интегрирование аналитической функции. Первообразная 123

Примеры • 1. • 2. 124

Интегральные теорема и формула Коши 125

Примеры • Пример. Вычислить интегралы: • 1. • 2. 126

Интегральная формула Коши 127

замечание 128

Следствия интегральной формулы Коши 129

Примеры 130

Пример 131

РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 132

133

Числовые ряды 134

Свойства рядов с к. ч. 135

136

ЛЕКЦИЯ № 7 137

138

Свойства абсолютно сходящихся рядов с к. ч. 139

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 140

141

Теорема Абеля для к. с. рядов 142

Степенные ряды 143

Свойства степенных рядов 144

РЯД ТЕЙЛОРА 145

146

147

РЯД ЛОРАНА 148

149

Ряд Лорана 150

Ряд Лорана 151

Ряд Лорана 152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

§ 5. Интегрирование функции комплексной переменной ОПР. Пусть в области D задана однозначная и непрерывная ф. к. п. w = f ( z ) и пусть Г (АВ) – произвольная кусочно-гладкая ориентированная кривая (Г ∊ D). zk z 2 z 1 А=z 0 zk+1 zn-1 zk zn-1 zn В=zn D а) Г: {А = z 0 , z 1 , z 2 , …, zn= В}, б) zk ∊ (zk , zk+1 ) в) г) d = max| zk , zk+1 | Предел комплексной интегральной суммы при d → 0 называется интегралом от функции f(z) вдоль кривой Г и обозначается (5. 1) 164

• 165

166

Свойства интегралов от ф. к. п. 167

168

Вычисление интегралов от ф. к. п. 169

4. 1. 2. Метод Эйлера 170

171

Пример 172

Пример (продолжение) 173

Пример (окончание) 174

ЛОДУ 2 -го порядка, с произвольными коэффициентами Рассмотрим уравнение y + a 1(x) y + a 2(x) y = 0. Пусть y 1(x) любое ненулевое решение этого уравнения Тогда его общее решение имеет вид ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения если известно, что его решением является функция (Самостоятельно). 175

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (6). Многочлен в левой части (8) называется характеристическим многочленом, Корни уравнения (8) называются характеристическими корнями уравнения (6). Замечания. 1) Формально характеристическое уравнение (8) получается из (6) заменой производных искомой функции на соответствующие степени k, а самой функции – на k 0 = 1. 2) Уравнение (8) – алгебраическое уравнение n-й степени. оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида e x в общем случае не дадут 176 всю ф. с. р. уравнения (6).

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛОДУ 2 -го ПОРЯДКА • Для линейного однородного дифференциального уравнения 2 -го порядка • фундаментальная система решений (Ф. С. Р. ) • состоит из двух линейно независимых решений • Его общее решение находится по формуле: 177

178

179

180

181

182

К ПРАКТИКЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В. П. 183

ДУ в. п. , допускающие понижение порядка № 1. F (x, y(n)) = 0 Вид ДУ Замена а) – Решение Последовательное понижение порядка ДУ (n-кратное интегрирование) б) ДУ нельзя разрешить относительно y (n) 2. Понижение порядка ДУ на (n - k) (1 k n) ( нет y, y', … , y(k-1)) 3. Если решение ДУ, то (k-кратное интегрирование) Понижение порядка ДУ на 1 (нет x) , 184 , …

Пример • Пример. • Представить в тригонометрической форме комплексное число: • Z= 1+i. 185

Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической • Z = x+ iy , • 186

Геометрический смысл модуля производной 187

Геометрический смысл аргумента производной 188

189

190