3 Физический маятник это твердое тело совершающее

3 Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С Вращающий момент маятника: l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника О-С. Обозначим: J – момент инерции маятника относит. точки подвеса 1 O.

- угловое ускорение, тогда Уравнение динамики вращательного движения , где – приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с 2 периодом колебаний данного физического маятника.

• Точка называется центром качаний • Применяя теорему Штейнера, получим: Рисунок 10 всегда больше l. Точки и всегда будут лежать по обе стороны от точки С. 3

Точка подвеса О маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости. На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. 4

• Все приведенные соотношения для математического и физического маятников справедливы для малых углов отклонения (меньше 15°), когда мало отличается от длины хорды (меньше чем на 1%). 5

Тема СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ. 1. Способы представления гармонических колебаний 2. Сложение гармонических колебаний. Биения 3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 4. Фигуры. Лиссажу(частные случаи)

1 Способы представления гармонических колебаний Гармонические колебания можно представить несколькими способами: аналитический: графический; геометрический, диаграмм). с помощью вектора амплитуды (метод векторных

Рассмотрим подробнее геометрический способ, с помощью вектора амплитуды (метод векторных диаграмм). Ox – опорная прямая

Вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническое колебание. Проекция кругового движения на ось у, также совершает гармоническое колебание

2. Сложение гармонических колебаний. Биения Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая гармонически колеблющимся шариком. Интерференция между двумя круговыми волнами от точечных источников, колеблющихся в фазе друг с другом. На поверхности жидкости образуются узловые линии, в которых колебание max. или отсутствует.

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой. (1) Такие два колебания называются когерентными, их разность фаз не зависит от времени:

Ox – опорная прямая A 1 – амплитуда 1 -го колебания φ1 – фаза 1 -го колебания. - результирующее колебание, тоже гармоническое, с частотой ω:

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду, результирующего колебания: (2) Начальная фаза определяется из соотношения (3) Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз

Рассмотрим несколько простых случаев. 1. Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть , где Тогда и (4) колебания синфазны Рисунок 3

2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть , где Тогда. Отсюда (5) колебания в противофазе Рисунок 4

3. Разность фаз изменяется произвольным образом во времени (6) Это некогерентные колебания Здесь интересен случай, называемый биениями, когда частоты близки

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами , называются биениями.

Рисунок 5 Колебания вида называются модулированными.

Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами кратными циклической частоте ω: Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω, . . . , называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний ; (7) В результате получили уравнение эллипса с произвольно расположенными осями Рисунок 6

4. Фигуры. Лиссажу(частные случаи) 1. Начальные фазы колебаний одинаковы (8) Это уравнение прямой, проходящей через начало координат Такие колебания поляризованными. называются линейно

2. Начальная разность фаз равна π. (9) (10)

3. Начальная разность фаз равна π/2. (11) – это уравнение эллипса с полуосями А 1 и А 2 ( Эллиптически поляризованные колебания) – получим уравнение окружности При (циркулярно-поляризованные колебания).

4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат. Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу. Здесь рассматривались простейшие случаи, когда тогда в результате будут Если получаться уже не эллипсы, а более сложные фигуры Лиссажу (рисунок 8)

Фигуры Лиссажу при Рисунок 8

Тема. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛНА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1 Свободные затухающие механические колебания 2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания 3 Вынужденные механические колебания 4 Автоколебания

1 Свободные затухающие механические колебания Все реальные колебания являются затухающими. Если затухание не велико, то колебания можно рассматривать как гармонические, на которые накладывается затухание. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний уменьшается. Сила трения (или сопротивления) где r – коэффициент сопротивления, – скорость движения

Тогда второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x в случае колебаний груза на пружине мы можем записать: где kx – возвращающая сила, Введем обозначения – сила трения. ; (1) Решение уравнения (1) имеет вид (при )

Решение уравнения (1) имеет вид (2) где А 0, b, w – постоянные, причем А=х при t=0. Найдем частоту колебаний ω. ; условный период ; (3) (4)

Из (3) и (4) видно, что в случае затухающих колебаний частота меньше, а период больше, чем для незатухающих колебаний. На практике, когда затухание невелико, ω мало отличается от Ø Постоянная b=r/2 m определяет насколько быстро амплитуда колебаний уменьшается до нуля. Ø Промежуток времени t 1=2 m/r, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз , называется средним временем жизни или временем релаксации колебания. Чем больше r, тем быстрее колебания прекращаются. Ø

2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания где β – коэффициент затухания Рисунок 1

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т. ; откуда Следовательно, коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз, τ – время релаксации.

Когда сопротивление становится равным а то круговая частота критическому ), ( обращается в нуль ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим: Рисунок 2

Отличия этих процессов в следующем. При колебаниях, тело, возвращающееся в положении равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления трения.

3. Вынужденные механические колебания Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ) действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила: – основное уравнение колебательного процесса, при вынужденных колебаниях (3)

Уравнение установившихся вынужденных колебаний (4) Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой. Введем обозначения: – амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов: Рисунок 3 Из рисунка 3 видно, что

(5) Проанализируем выражение (5). 1) (частота вынуждающей силы равна нулю) – статическая амплитуда, колебания не совершаются. (затухания нет). С увеличением ω (но при 2) , амплитуда ), амплитуда растет и при резко возрастает ( ). Это явление называется – резонанс. При дальнейшем увеличении ( ) амплитуда опять уменьшается. (Рисунок 4 ) 3) – резонансная частота

- явление резонанса Рисунок 4 – резонансная частота

– резонансная частота. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний приближении частоты вынуждающей силы к называется резонансом. Для консервативной системы, т. е. для диссипативной несколько меньше собственной круговой частоты. С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при

Высота и ширина резонансного пика часто характеризуются параметром Q, который называется добротностью и определяется следующим образом: Q=mw 0/r Кривая 1 с b 1=0 имеет Q=6, кривая 2 c b 2 Q=2 и кривая 3 Q=1/. Чем меньше постоянная затухания r , тем больше Q и тем выше резонансный пик.

Ø Значение Q характеризует также ширину резонансного пика: если w 1 и w 2 –частоты, на которых квадрат амплитуды А 0 составляет половину максимального значения , то ширина резонансного пика Dw=w 1 -w 2 связана с Q соотношением: Dw/w 0=1/Q Простой иллюстрацией резонанса является раскачивание на качелях. Маршировка солдат по навесному мосту. Во избежание катастрофы солдатам дается команда «сбить ногу»

4. Автоколебания Наблюдая колебания листьев деревьев, дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др. , мы понимаем, что во всех перечисленных случаях незатухающие колебания происходят за счет энергии постоянно дующего ветра. Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями.

Принцип работы всех автоколебательных систем можно понять, обратившись к схеме, изображенной на рисунке 5 Рисунок 5 Периодическим поступлением энергии в колебательную систему от источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная система посредством обратной связи.

В конструкции часового механизма (рисунок 6) присутствует специальное устройство – анкер, выполняющий роль ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло, приводится в колебание самим маятником часов. Рисунок 6 Важно отметить, что любая автоколебательная система нелинейна.