3 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА П

§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА П. 1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ОПР. 3. 1 Если каждому числу n из множества натуральных чисел ℕ поставлено в соответствие действительное число x, то множество таких действительных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элементами. Наиболее распространенными являются три способа задания последовательности: аналитический, рекуррентный и словесный. Геометрически последовательность изображается на числовой прямой в виде точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-ого члена, например. Если любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие члены, то говорят, что последовательность задана рекуррентно, например: Словесный способ задания последовательности – это когда на словах определено как находится каждый ее член. Например, последовательность периметров всех правильных многоугольников.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ Введем арифметические операции над последовательностями. Пусть даны две последовательности. Произведением последовательности на действительное число A, называется последовательность ; Суммой двух последовательностей называется последовательность ; Разностью двух последовательностей называется последовательность ; Произведением двух последовательностей называется последовательность ; Частным двух последовательностей называется последовательность , если все члены последовательности отличны от нуля.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ ОПР. 3. 2. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии. ОПР. 3. 3. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же, отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

П. 2. СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ОПР. 3. 4. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что для любого натурального n; число M называется верхней границей последовательности. Последовательность называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для любого натурального n; число m называется нижней границей последовательности. Наконец, последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если. Если изображать геометрически ограниченную сверху числом M числовую последовательность, то все ее члены будут лежать в интервале (-∞; M ] , если изображать последовательность, ограниченную снизу числом m, то все ее члены будут лежать в промежутке [m; +∞). Если же последовательность ограничена с обеих сторон числом M, то все ее члены лежат в отрезке [-M; M].

СВОЙСТВА ОГРАНИЧЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теорема 3. 1. Свойство ограниченности последовательности не нарушится, если отбросить конечное число членов последовательности или, напротив, к данной последовательности добавить некоторое конечное число членов. Теорема 3. 2. Если последовательности и ограничены, то их сумма также является ограниченной последовательностью. ОПР. 3. 5. Последовательность называется возрастающей, если каждый последующей член ее больше предыдущего, т. е. . Последовательность называется убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего.

П. 3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПР. 3. 6. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ℰ существует номер N(ℰ)⋲ℕ, такой что для всех n>N(ℰ) выполняется неравенство. С помощью логических символов это определение можно записать так: Члены бесконечно малых последовательностей можно изображать на координатной прямой. Если некоторый член бесконечно малой последовательности удовлетворяет неравенству или, что то же самое неравенству , то он лежит внутри интервала (-ℰ; ℰ). Если неравенство выполняется для всех n>N(ℰ), то все члены последовательности, начиная с этого номера, лежат внутри интервала (-ℰ; ℰ).

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Таким образом, можно дать геометрическое толкование бесконечно малой последовательности: какой бы интервал (-ℰ; ℰ) ни взять, все члены последовательности , начиная с некоторого номера N, лежат внутри этого интервала. -ℰ 0 ℰ x

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теорема 3. 3. Справедливы следующие свойства бесконечно малых последовательностей: Стационарная последовательность {c, c, c, …, c…} является бесконечно малой тогда и только тогда, когда c=0. Свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить конечное число членов, или напротив, приписать к ней конечное число членов. Если - бесконечно малая последовательность и для всех номеров n выполняется неравенство , то последовательность тоже является бесконечно малой. Бесконечно малая последовательность ограничена. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Если последовательность - бесконечно малая, а последовательность ограничена, то их произведение является бесконечно малой последовательностью.

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Следствие. Если последовательность - бесконечно малая, а c - любое действительное число, то последовательность - тоже бесконечно малая. Произведение двух и вообще любого числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Если - бесконечно малые последовательности и действительные числа, то последовательность тоже является бесконечно малой.