3 2 Аномальные поля 3 2 1

3. 2 Аномальные поля

3. 2. 1 Точечный источник и контакт двух сред Обозначим: Будем искать решение в виде: A A’ d r 1 r 2 U 1 U 2 На границе: Г. У. :

Коэффициент отражения: Решение:

На поверхности земли: Дифференцирование по направлению х дает поле, отвечающее идеальной градиент-установке

Проведем преобразования применительно к случаю профилирования: x’ x’ 0 0 0 x’ d d A x O r 1 r 2 1. 1. 2. 3. O A r 1 r 2 2. A r 1 r 2 3. O

Формулы для кажущегося сопротивления идеальной градиентустановки AMN: MNB:

Графики для реальной установки, факторы, определяющие кажущееся сопротивление, Взаимосвязь симметричной и трехэлектродной установок rk M B N A MN MN B N M A

3. 2. 2. Сфера в электрическом поле Постановка задачи: R M r Q U 1 A d U 2 a r 2 r 1 Разрыв радиальной компоненты E (при неразрывности тангенциальной)

Используем метод разделения переменных: Положим, что * ** Уравнение Лежандра

Уравнение Лежандра имеет нетривиальные решения при: Решения уравнения – полиномы Лежандра, определяемые по формуле Родрига: -частные решения Вернемся к уравнению **

Ему удовлетворяют решения: Частное решение: Объединяем решения: Общее решение:

Предварительно представим 1/R с помощью полиномов Лежан Для rd: Для окрестностей шара: r

3 б) Решение уравнений 3 а и 3 б: - коэффициент отражения

Частный случай однородного поля: M Q r R A M a a r 2 r 1 d r d A→ R r 2 r 1 d>>r d>>a r/d<<1 a/d<<1

Ограничимся первым членом ряда, т. к. d – большая величина

M r Q x - нормальное поле Сопоставление с полем диполя: 1

Выводы: • Сферическое включение в однородном поле эквивалентно электрическому диполю, помещенному в центре сферы. • Физическими источниками аномального поля являются индуцированные источники, расположенные на поверхности включения. • Для шар-проводника внутреннее поле направлено как нормальное поле, для шараизолятора – направлено противоположно нормальному полю.

3. 2. 3 Сфера в полупространстве, потенциал на поверхности r 2 r’ M 0 x z r a r 2 r 1