21 Квадратичные формы 21 1 Сумма каждый член

21. Квадратичные формы 21. 1. Сумма, каждый член которой является квадратом одного из неизвестных или произведением двух разных неизвестных, умноженным на числовой коэффициент, называется квадратичной формой от п неизвестных. После приведения подобных членов коэффициент при обозначают через а i i , а коэффициент при х i х j – через 2 а i j , приняв, что.

Коэффициенты квадратичной формы записывают в симметрическую матрицу Пример: её матрица. – общий вид квадратичной формы от неизвестных х, у.

21. 2. Тогда квадратичную форму можно записать матричных обозначениях:

Запись φ с помощью оператора суммирования: Замечание Для любой р п –матрицы С – результат суммирования не зависит от порядка.

21. 3. Поведение квадратичной формы при (линейной замене базиса переменных) Будем считать, что неизвестные хi – координаты вектора в некотором базисе линейного пространства V : Если в пространстве V выбрать другой базис (g), то координаты вектора в этих базисах будут связаны между собой соотношением

Столбцами матрицы Q служат координаты векторов нового базиса: – или в векторно-матричном виде: Q – матрица перехода от (е) к (g). Тогда матрица коэффициентов формы φ от новых неизвестных,

21. 4. Рангом квадратичной формы называется ранг её матрицы коэффициентов. Этот ранг не меняется при невырожденной линейной замене неизвестных (переходе к новому базису). 21. 5. Говорят, что квадратичная форма приведена к каноническому виду, если коэффициенты при произведениях различных неизвестных равны нулю: ― матрица коэффициентов канонического вида – диагональная:

21. 6. Всякую квадратичную форму можно привести невырожденной линейной заменой неизвестных к каноническому виду, в котором число ненулевых коэффициентов равно рангу квадратичной формы. (I) Если в хотя бы один коэффициентов при квадратах аi i отличен от нуля, выделим полный квадрат – пусть, например, где форма содержит лишь неизвестные

Если обозначить при где ψ будет то получим квадратичной формой от неизвестных (II) Если то заменяют при Тогда член формы φ примет вид – в форме появились квадраты применим (I).

Сделанные линейные замены – невырожденн ые, поскольку задаются невырожденн ыми матрицами: – в случае (I) матрицей, обратной к матрице – в случае (II) матрицей

21. 7. Нормальный вид квадратичной формы Если квадратичная форма φ ранга r приведена к каноническому виду, что слагаемые в нем можно переставить таким образом, чтобы первыми стояли квадраты с положительными коэффициентами, за ними – слагаемые с отрицательными, а неизвестные, квадраты которых в каноническом виде имеют нулевые коэффициенты, в нумерации неизвестных оказались последними:

Тогда с помощью невырожденного преобразования неизвестных форма приводится к т. н. нормальному виду все ненулевые коэффициенты в котором равны ± 1. Замечание. Квадратичную форму с комплексными коэффициентами можно привести к нормальному виду, ненулевые коэффициенты которого равны 1.

Пример

Пример

нормальный вид.

21. 8. Закон Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, инерции. к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами преобразованием неизвестных с действительной невырожденной матрицей Q, не зависят от матрицы Q. Замечание На практике может быть важен вид Например, треугольная. Q. единицами на диагонали, или матрицы с удовлетворяет условию Q ∙ QT = E, т. е.

Тогда коэффициенты канонического вида не могут быть произвольными: 21. 9. Приведение квадратичной формы к главным осям Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду преобразованием неизвестных в котором столбцы матрицы Q образуют ортонормированную систему векторов:

Коэффициентами канонического вида служат λi – собственные значения матрицы квадратичной формы, а столбцами матрицы перехода Q , с помощью которой осуществляется замена переменных , – соответствующие собственные векторы той же матрицы А: ― следует из утверждений:

Всякая симметрическая матрица диагонализируема. Столбцы [строки] матрицы Q образуют ортонормированную систему векторов

22. Кривые второго порядка 22. 1. Общее уравнение – п. д. с. к. Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, задаваемое уравнением 22. 2. Заменой переменных можно упростить уравнение, приведя квадратичную форму

к главным осям, выбирая на плоскости новый базис − собственные векторы матрицы квадратичной формы φ при собственных значениях λ 1 и λ 2 соотв.

22. 3. Выбирая, если нужно, новое начало координат − заменой координат уравнение кривой приводят к каноническому виду − одному из девяти: 1) 2) 3) − эллипс действительный (+) мнимый (−) ; − гипербола

4) 5) 6) 7) 8) 9) − пара пересек. прямых действительных (−) мнимых (+) − парабола (p > 0); − параллельных прямых действительных (+) мнимых (−) − пара совпавших прямых.

22. 4. Эллипс действительный y полуоси b М (х; у) −a F 1 F 2 −b a x фокусы;

y эксцентриситет; b М −a d 2 F 1 F 2 x a −b Уравнение касательной в точке d 1 директрисы:

22. 5. Гипербола полуоси асимптоты. F 2 F 1 фокусы;

эксцентриситет; директрисы: F 2 F 1 d 2 d 1 Уравнение касательной в точке

22. 6. Парабола директриса: фокус; Уравнение касательной в точке