2 Случайные величины Рассматриваемые вопросы v Законы распределения

2. Случайные величины Рассматриваемые вопросы: v Законы распределения дискретных случайных величин v Характеристики дискретных случайных величин v Непрерывные случайные величины v Основные законы случайных величин распределения (С) Веденяпин Е. Н. 2011 непрерывных 1

2. 1. Законы распределения дискретных случайных величин Случайная величина – это величина, которая в результате испытания принимает лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных величин. Замечание: Каждой случайной величине соответствует некоторое множество значений, которые она может принимать. Дискретная случайная величина – это случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностями. Непрерывная случайная величина – это случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого интервала. Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между отдельными возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 2

Табличный закон распределения случайной величины Х х1 х2 х3 … xn Р р1 р2 р3 … рn Замечание 1: Поскольку в одном испытании случайная величина Х принимает только одно значение, то события Х=х1, Х=x 2, …, Х=xn образуют полную группу, то есть Замечание 2: Если множество возможных значений дискретной случайной величины Х бесконечно, то соответствующий бесконечный ряд вероятностей сходится, и его сумма равна 1 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 3

Пример расчета вероятности с использованием табличного закона распределения. Вероятностный прогноз для процентного изменения стоимости курса акций Х по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев задан в виде табличного закона распределения Х, % 5 10 15 20 25 30 Р 0. 1 0. 2 0. 3 0. 2 0. 1 Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3% за месяц сроком на 6 месяцев. Прирост суммы на депозите Искомая вероятность (С) Веденяпин Е. Н. 2011 (С) Веденяпин 2011 4

Биномиальный закон распределения Пусть производится серия из n независимых испытаний, и в каждом испытании событие А может появиться с одинаковой вероятностью р. Вероятность того, что событие А произойдет в k случаях из n (k

Якоб БЕРНУЛЛИ (1654 – 1705) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 6

Пример применения биномиального распределения Банк выдает пять кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0. 2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончанию срока кредитования. Событие А – невозврат кредита заемщиком. Заемщики действуют независимо друг от друга. Вероятность невозврата кредита k<5 заемщиками описывается биномиальным законом распределения Х Р 5 4 3 2 1 0 0. 006 0. 051 0. 204 0. 409 0. 327 32 4 2 8 6 7 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 (С) Веденяпин 2011 7

Закон распределения Пуассона Пусть в каждом из n>>1 испытаний вероятность события А одинакова и равна р<<1. Пусть также Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, описывается законом распределения Пуассона для массовых и Симеон-Дени редких событий ПУАССОН (1781 – 1840) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 8

Пример применения распределения Пуассона На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0. 0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 9

2. 2. Характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность ее появления Замечание: Если вероятности всех возможных значений случайной величины одинаковы, то математическое ожидание случайной величины равно среднему арифметическому случайной величины (С) Веденяпин Е. Н. 2011 10

Пример вычисления математического ожидания Банк выдает пять кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0. 2 для каждого из заемщиков. Закон распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончанию срока кредитования, задан в виде таблицы Х Р 5 4 3 2 1 0 0. 006 0. 051 0. 204 0. 409 0. 327 32 4 2 8 6 7 Найти математическое ожидание числа невозврата кредитов. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 (С) Веденяпин 2011 11

Свойства математического ожидания v Математическое ожидание постоянной величины С равно С v Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания v Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий v Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий (С) Веденяпин Е. Н. 2011 12

Пример вычисления математического ожидания Ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют 120. 0 тыс. у. е. Число продаж Х автомобилей описывается законом распределения Х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Р 0. 25 0. 2 0. 1 0. 05 0. 025 Найти математическое ожидание средней прибыли при цене автомобиля 120. 0 тыс. у. е. Ежедневная прибыль Математическое ожидание прибыли (С) Веденяпин Е. Н. 2011 13

Дисперсия дискретной случайной величины Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения (С) Веденяпин Е. Н. 2011 14

Пример вычисления дисперсии Закон распределения ежедневных продаж автомобилей в автосалоне имеет вид Х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Р 0. 25 0. 2 0. 1 0. 05 0. 025 Найти дисперсию ежедневных продаж автомобилей. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 15

Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины С равна 0 2. Постоянный множитель можно вынести из под знака дисперсии, возводя его в квадрат 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий 4. 5. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях с вероятностью р появления события А в каждом из них (С) Веденяпин Е. Н. 2011 16

Математическое ожидание и дисперсия для случайной величина распределена по закону Пуассона, то Если случайная величины, распределенной по закону математическое ожидание этой. Пуассона случайной величины и ее дисперсия равны другу и равны параметру (С) Веденяпин Е. Н. 2011 17

Пример вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины Банк выдал кредиты n разным заемщикам в размере S у. е. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, если вероятность возврата кредита заемщика равна р. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 18

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – это квадратный корень из ее дисперсии Среднее квадратическое отклонение суммы независимых случайных величин (С) Веденяпин Е. Н. 2011 19

Корреляционный момент случайных величин Х и Y – это математическое ожидание их отклонений Замечание 1: Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами. Замечание 2: Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен нулю. Замечание 3: Если корреляционный момент не равен нулю, случайные величины являются зависимыми. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 20

Коэффициент корреляции случайных величин Х и Y – это отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин Замечание: Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и не зависит от выбора системы измерения случайных величин, а его абсолютная величина не превосходит единицы (С) Веденяпин Е. Н. 2011 21

Коррелированные случайные величины Две случайные величины Х и Y называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля. Если же их коэффициент корреляции равен нулю, то случайные величины Х и Y называются некоррелированными. Замечание: Две коррелированные случайные величины являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно: то есть две зависимые случайные величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 22

Линейная регрессия Пусть имеется двумерная случайная величина (Х, Y), где Х и Y – зависимые случайные величины. Тогда приближенно величину Y можно представить в виде линейной функции Х где а и b – параметры, подлежащие определению. Функция g(X) называется средней квадратической регрессией Y на Х. Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид где rxy – коэффициент корреляции, my=M(Y) и mx=М(X) – математические ожидания случайных величин Х и Y. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 23

Коэффициент регрессии и прямая регрессии Коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на Х. Прямая, реализующая линейную зависимость Y от Х называется прямой средней квадратической регрессии Y на Х. Замечание: Поскольку линейная зависимость Y=Y(X) является приближенной, то существует погрешность этого приближения, называемая остаточной дисперсией (С) Веденяпин Е. Н. 2011 24

2. 3. Непрерывные случайные величины Пусть Х – непрерывная случайная величина, значения которой непрерывно заполняют интервал (a, b). Функцией распределения непрерывной Функция распределения случайной ), определяющая случайной величины Х называется функция F(xвеличины вероятность того, что Х примет значение, меньшее х (С) Веденяпин Е. Н. 2011 25

Свойства функции распределения непрерывной случайной величины v Область значений функции распределения лежит на отрезке 0, 1 v Функция распределения является неубывающей функцией, то есть v Если возможные значения случайной величины F(x) находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при х<а и F(x)=1 при х>b. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 26

Свойства функции распределения непрерывной случайной величины (окончание) v Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, заключенные внутри интервала ( , ), равна разности значений функции распределения на концах этого интервала v Вероятность того, что случайная величина Х примет любое наперед заданное значение, равна нулю. v Если возможные значения непрерывной случайной величины Х расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие соотношения (С) Веденяпин Е. Н. 2011 27

Пример графика функции распределения непрерывной случайной величины F(x) 1 x 0 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 28

Плотность распределения вероятности – это производная от функции распределения непрерывной случайной величины Х Замечание: Функция распределения является первообразной для плотности распределения вероятностей (С) Веденяпин Е. Н. 2011 29

Свойства плотности распределения вероятностей 1. 2. 3. Если возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала (а, b), то (С) Веденяпин Е. Н. 2011 30

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Дисперсия случайной величины Среднее квадратическое отклонение (С) Веденяпин Е. Н. 2011 31

Пример расчета математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, плотность вероятности распределения которой задана уравнением (С) Веденяпин Е. Н. 2011 32

2. 4. Основные законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение непрерывной случайной величины – это распределение, при котором на интервале возможных значений случайной Равномерное распределение величины плотность распределения является постоянной f(x) 0 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 a b х 33

Нормальное распределение непрерывной случайной величины – это распределение, плотность вероятности которого описывается формулой f(x) =1 =2 =3 0 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 a х 34

Карл Фридрих ГАУСС (1777 – 1855) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 35

Нормированное нормальное распределение с параметрами а=0 и =1 – это нормальное x Ф(х) 0. 0000 0. 40 0. 1554 0. 80 0. 2881 1. 20 0. 3849 0. 10 0. 0398 0. 50 0. 1915 0. 90 0. 3159 1. 30 0. 4032 0. 20 0. 0793 0. 60 0. 2257 1. 00 0. 3413 1. 40 0. 4192 0. 30 0. 1179 0. 70 0. 2580 1. 10 0. 3643 1. 50 0. 4345 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 36

Пример расчета Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными соответственно 48 и 2. Определить процент спроса на 50 -ий размер при условии разброса этой величины в интервале (49, 51). (С) Веденяпин Е. Н. 2011 37

Мода и медиана нормального распределения Мода М 0(Х) – это значение случайной величины Х, при котором плотность распределения имеет максимум. Медиана М 0(Х) – это значение случайной величины Х, при котором вертикальная прямая х=М 0(Х) делит пополам площадь, ограниченную f(x) кривой плотности распределения. 0 ММ 0(Х) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 х 38

Распределение 2 Пирсона Пусть Х 1, Х 2, …, Хn – нормально распределенные независимые случайные f(x) величины с а=0 и =1. Тогда сумма их квадратов 0. 6 n=2 называется распределением 2 Пирсона с n степенями свободы. 0. 3 n=5 n=10 х 0 (С) Веденяпин Е. Н. 2011 20 40 39

Карл ПИРСОН (1857 – 1936) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 40

Распределение Стьюдента Пусть Z – нормальная случайная величина с а=0 и =1 , а Y – независимая f(x) от Z величина, распределенная по закону Пирсона с n степенями свободы. N(0, 1) Тогда случайная величина, распределенная по закону называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. T(n) 0 х Замечание: С возрастанием n распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 41

Уильям Сили ГОССЕТ (1876 – 1937) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 42

Распределение Фишера Пусть U и V – независимые случайные величины, распределенные по закону Пирсона со степенями свободы m и n соответственно. Тогда случайная величина, распределенная по закону называется распределением Фишера со степенями свободы m и n. (С) Веденяпин Е. Н. 2011 43

Рональд Эймлер ФИШЕР (1890 – 1962) (С) Веденяпин Е. Н. 2011 44

(С) Веденяпин Е. Н. 2011 45