2 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 2 1 Связи

2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 2. 1. Связи

Любое тело, любой механизм, любую совокупность взаимодействующих между собой тел в механике принято называть системой материальных точек или механической системой. Если движения всех точек системы не ограничены никакими условиями, то механическая система считается несвязанной (свободной). Примером такой системы является Солнечная система.

Связями механической системы называются любые ограничения, накладываемые на координаты и скорости точек этой системы. Аналитически связи могут быть представлены уравнениями (или неравенствами), которым должны удовлетворять координаты точек системы и производные от координат по времени.

Пример. Тонкий невесомый стержень (рис. 2. 1). При этом координаты точки, на которую наложена связь, должны удовлетворять условию Рис. 2. 1. Пример геометрической связи

Геометрическими называются связи, которые накладывают ограничения на координаты точек. Обычно это различного рода закрепления точек системы: подшипники, шарниры, опорные поверхности и т. д. Такие связи можно подразделить на односторонние и двусторонние. Двусторонними или удерживающими называются связи, препятствующие перемещению в двух взаимно противоположных направлениях.

Односторонними (неудерживающими) называются связи, препятствующие перемещению в одном направлении, например, гибкая связь. Если предположить, что на рис. 2. 1 вместо стержня прикреплена нить, то условием, накладываемым на координаты груза, будет неравенство Рис. 2. 1. Пример геометрической связи

Стационарными называются связи, не зависящие явно от времени. В этом случае время в уравнение связей не входит. Нестационарные - это связи, зависящие от времени. Если, например, нить математического маятника при его колебаниях укорачивается путем втягивания ее в кольцо подвеса со скоростью V, то такая связь также будет нестационарной:

Связи, которые накладывают ограничения на скорости точек, называются кинематическими или дифференциальными. Они подразделяются на интегрируемые и неинтегрируемые. К интегрируемым относятся связи из кинематических соотношений которых можно найти зависимость между координатами.

Например, при качении колеса без скольжения по неподвижной поверхности, (рис. 2. 2) между угловой скоростью колеса и скоростью центра масс существует зависимость: Так как а то Интегрируя последнее выражение получим Рис. 2. 2. Интегрируемая связь

Неинтегрируемыми называются связи, в уравнениях которых из зависимостей между скоростями нельзя найти зависимости между перемещениями. Геометрические и интегрируемые кинематические связи называются голономными, а механические системы, на которые наложены только такие связи - голономными системами. В общем виде данные связи представляются уравнениями: , (k=1, 2, . . . , m; m < 3 N), N - число точек системы.

2. 2. Действительные и возможные перемещения В механических системах при отсутствии связей любые перемещения точек не ограничены, то есть возможны. Действительными называют бесконечно малые перемещения, которые совершают точки системы под действием приложенных сил.

Возможными (виртуальными) перемещениями системы называют воображаемые, бесконечно малые перемещения, допускаемые связями в данный момент времени. Обозначения: возможные перемещения точек системы действительные перемещения точек. Если связи со временем не изменяются (стационарны), то любое действительное перемещение может произойти из числа возможных. В случае односторонних (неудерживающих) связей к числу возможных относят лишь такие перемещения, при которых точки системы не покидают связь.

Например. Связью для бруска является поверхность (рис. 2. 3, а). Все возможные перемещения направлены по касательным к опорной поверхности в точке касания ее с бруском. Рис. 2. 3. Возможные перемещения

Аналогично и в случае гибких связей (нить, трос и т. п. ). К числу возможных относят лишь те перемещения при которых нить остается постоянно натянутой (рис. 2. 3, б). Рис. 2. 3. Возможные перемещения

2. 3. Число степеней свободы Из примеров, показанных на рис. 2. 3 видно, что связи могут допускать большое число возможных перемещений, однако не все из них независимы. Числом степеней свободы механических систем называют число взаимно независимых возможных перемещений.

Рис. 2. 4. К определению числа степеней свободы Пусть механическая система состоит из “n” точек, на которые наложено “k” связей. Число степеней свободы определится из следующих соображений. Каждая свободная точка имеет три независимых перемещения: xi, yi, zi (рис. 4. 5).

Все “n” точек, будучи не связанными, имели бы 3 n независимых перемещений. Так как эти 3 n перемещений взаимосвязаны “k” условиями связей, то независимых перемещений остается: S = 3 n – k, (2. 1) где S – число независимых перемещений, или, по определению, число степеней свободы.

Рассмотрим применение формулы (2. 1) для определения числа степеней свободы кривошипно-шатунного механизма (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Кривошипно-шатунный механизм

Система состоит из трех взаимосвязанных тел: кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В (поршень). На механизм наложены связи: неподвижная ось вращения кривошипа и направляющие для ползуна. Положение всех тел механизма определится, если знать положение трех точек: О, А и В. Если бы эти точки были не связанными, то они имели бы 3 3 = 9 степеней свободы. Однако, перемещения точек ограничены; эти ограничения математизируются уравнениями ( «уравнения связей» ):

Шарнир «О» не покидает начала координат: х0 = 0; у0 = 0; z 0 = 0. Точка «А» движется только в плоскости рисунка (механизм плоский): z. А = 0. Ползун «В» движется только вдоль направляющих: у. В = 0; z. В = 0. Длины кривошипа и шатуна неизменны: (х. А - х0)2 + (у. А - у0)2 + (z. А – z 0)2 = ОА 2; (х. В - х. А)2 + (у. В - у. А)2 + (z. В – z. А)2 = АВ 2. Итак, восемь уравнений выражают наложенные на механизм связи. По формуле (2. 1) имеем: S = 3 3 – 8 = 1. Следовательно, кривошипно-шатунный механизм – это система с одной степенью свободы.

Давая независимые возможные перемещения, легко определить, что твердое тело может иметь следующие числа степеней свободы: при вращении вокруг неподвижной оси – одну, при поступательном движении – три, при плоскопараллельном – три, при сферическом – три; свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы (этот случай показан на рис. 2. 6). Как известно, число статических условий равновесия и кинематических уравнений движения твердого тела всегда равно числу его степеней свободы.

Рис. 2. 6. Степени свободы свободного твердого тела Ниже будет показано, что аналогичное соответствие имеет место и в динамике механических систем, состоящих из совокупности взаимодействующих тел.

2. 4. Возможная работа Возможной работой называют работу силы на возможном перемещении. (2. 2) Из определения возможных перемещений следует, что возможная работа - это воображаемая и бесконечно малая. Вычисляется она точно так же, как и действительная элементарная работа: (2. 3)

или, если возможным перемещением является угол поворота, (2. 4) Как и на действительных на возможных перемещениях можно подсчитывать работу как активных, так и пассивных сил, а при необходимости ещё и возможную работу сил инерции.

2. 5. Идеальные связи Идеальными называют такие связи, у которых сумма работ сил реакций равна нулю на любом возможном перемещении: (2. 5) где i – номер силы реакции

2. 6. Принцип возможных перемещений Как уже отмечалось, здесь и далее рассматриваются механические системы с идеальными, удерживающими, стационарными и голономными связями. Допустим, что механическая система состоит из "п" материальных точек и имеет "S" степеней свободы. На точки действуют активные силы , где i = 1, 2, …, n. Принцип возможных перемещений (или принцип Лагранжа), как известно, заключается в следующем.

Для равновесия механических систем с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работ активных сил равнялась нулю на любом возможном перемещении: (2. 6) Докажем необходимость (прямую теорему Лагранжа), так как при практическом применении этого принципа равновесие механической системы, как правило задано, а требуется методом составления уравнения возможных работ найти соотношения действующих сил.

Рассмотрим механическую систему, находящуюся в равновесии (рис. 2. 7). Рис. 2. 7. Механическая система

На каждую точку системы действуют силы, которые подразделим на активную и пассивную ( реакцию связи) Ускорение точки по второму закону динамики откуда Дадим системе какое-либо возможное . перемещение, при этом каждая точка системы получит свое возможное перемещение тогда

то есть так как связи идеальные следовательно что и требовалось доказать.

Обратную теорему Лагранжа можно доказать методом от противного. Доказательство этих теорем построенное на основных законах механики, свидетельствует о том, что принципы механики не только не противоречат законам механики Ньютона, а наоборот, развивают ее, обогащая новыми методами расчета. Так, если принцип Даламбера позволяет решать динамическую задачу путем составления уравнений равновесия, то принцип возможных перемещений допускает решение статических задач динамическим методом – путем составления уравнения возможных работ.

Принцип возможных перемещений сформулирован и показан для механических систем с идеальными связями. Однако им можно пользоваться и в случае, когда связи не идеальны (например, когда нельзя пренебречь шероховатостью поверхности). В таких случаях в уравнение возможных работ следует включить работу сил реакций не идеальных связей. Кроме того, из формулировки принципа возможных перемещений следует, что его можно применять для исследования равновесия систем с несколькими степенями свободы.

Пример. Состоящая из невесомых стержней конструкция находится в равновесии. Найти соотношение между силами Р и F (рис. 2. 8).

Рис. 2. 8. Рисунок к примеру

Решение. Сообщаем системе возможное перемещение, находим возможную работу активных сил и составляем уравнение принципа возможных перемещений Fd. B - Psinad. D = 0.

Рис. 2. 8. Рисунок к примеру

Находим зависимость между возможными перемещениями. Так как d. B/ВК =d. D/DK , то d. B=d. D ВK/DK=2 сosa. Отсюда Fd. D 2 сosa - Psinad. D = 0, или F=Ptga/2.

Рассмотрим применения принципа возможных перемещений для систем с несколькими степенями свободы. Пример. К концам нерастяжимой нити привязаны грузы одинаковой массы. От груза А нить проходит параллельно горизонтальной плоскости, огибает неподвижный блок С, охватывает подвижный блок D, затем огибает неподвижный блок Е, где к другому концу нити привязан груз В. К оси подвижного блока D подвешен груз К массы m (рис. 2. 9).

Рис. 2. 9. Рисунок к примеру

Определить массу m 1 каждого грузов А и В и коэффициент трения скольжения f груза А о горизонтальную плоскость, если система грузов находится в покое. Массой нити и блоков пренебречь. Решение. Данная механическая система состоит из трех грузов – А, В и К и имеет следующие возможные перемещения. а) Мысленно зафиксировать неподвижным груз В. Давая перемещение грузу А влево-вправо можно наблюдать соответствующие им перемещения груза К вверх-вниз.

б) Зафиксировать груз А, перемещая груз В вверх-вниз наблюдают однозначно определенные через них перемещения груза К вниз-вверх. в) Оставить неподвижным груз К. Наблюдаются равные по величине перемещения груза А влево- вправо и груза В вверх-вниз. Анализ этих вариантов возможных перемещений показывает, что взаимно независимых являются два любых из них, а третий будет следствием двух предыдущих.

Отсюда следует, что данная механическая система имеет две степени свободы, следовательно, можно составить два взаимно независимых уравнений возможных работ. На систему действуют активные силы тяжести грузов Р=mg и Р 1=m 1 g, силы реакций связей – NA, NB, NC , удовлетворяющие постулату идеальных связей, и реакция шероховатой поверхности, на которой лежит тело А – Fтр. По законам трения сила трения направлена против возможного перемещения тела А и численно равна Fтр=f. NA=fm 1 g.

Составим уравнения возможных работ. Даем возможное перемещение по варианту «б» , откуда Даем возможное перемещение по варианту « , учитывая закон Кулона,

важнейшие преимущества этого метода по сравнению с методами геометрической статики. Во-первых, условия равновесия сложных механических систем могут быть рассчитаны без разделения этих систем на отдельные тела. Во-вторых, число уравнений равновесия будет минимальным и равно числу степеней свободы.

Пример. Определить зависимость между силами P и Q в клиновом прессе, если сила Р приложена к рукоятке длиной L перпендикулярно осям винта и рукоятки. Шаг винта равен h, угол при вершине клина

Рис. 2. 10. Рисунок к примеру

Решение. Данная механическая система имеет одну степень свободы: при возможных перемещениях рукоятки по- или против часовой стрелки нагрузка Q получает однозначные перемещения вверх-вниз ( перемещения, при которых связи нарушаются, не входят в число возможных). Следовательно, независимо от числа звеньев и тел, равновесие данной механической системы определится одним уравнением.

Дадим рукоятке возможный поворот по направлению силы Р. Тогда винтовая пара продвинет клин вверх на а точка приложения силы Q получит перемещение вверх Так как сила трения и масса тела К не оговорены, то связи можно считать идеальными. . Составим уравнение возможных работ активных сил:

Так как система имеет одну степень свободы, то перемещения всех точек системы можно выразить через какое-либо одно. Для винтовой пары: при повороте рукоятки на один оборот, то есть угол 2π винт переместится на величину шага h, а при повороте на угол - на величину , отсюда

Для клина: (из малого треугольника при вершине) , подставим это в уравнение возможных работ: Отсюда видно, что прессующее усилие тем больше. Чем больше сила Р, длина рычага L и чем меньше шаг винта h и угол клина

Пример. В механизме домкрата при вращении рукоятки А длиной R начинают вращаться колеса 1 - 5, которые приводят в движение зубчатую рейку В домкрата (рис. 2. 12). Какую силу Р надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для того, чтобы чашка С домкрата развила давление 4, 8 к. Н. Радиусы зубчатых колес r 1=3 см, r 2=12 см, r 3=4 см, r 4=16 см, r 5=3 см, длина рукоятки R=18 см.

Рис. 2. 12. Механизм домкрата

Решение. Механическая система состоит из зубчатых колес 1, 2, 3, 4, 5, зубчатой рейки В и чашки С. Система имеет одну степень свободы, так как повороту рукоятки А соответствуют однозначно повороты всех колес и перемещение рейки с чашкой С. Система идеальная, так как силами трения и силами тяжести пренебрегается. Остается полезная нагрузка Q и преодолевающая ее сила Р.

Дадим рукоятке возможный поворот на угол , совпадающий по направлению с силой Р. При этом чашка С получит перемещение вверх на Уравнение возможных работ.

Для выражения связи перемещений в передаточном механизме примем следующее. Если тела связаны жестко, то их угловые перемещения равны. При зубчатом зацеплении колес равны их дуги окружности. Поэтому

Подставив в уравнение работ, получим После подстановки значений Р=50 Н. Выигрыш в силе с применением этого домкрата составляет раз. Но зато точка приложения силы Р должна совершить путь в 96 раз больший, чем чашка С. Например, для подъема чашки на 1 см надо, чтобы конец рукоятки описал дугу окружности в 96 см.

Пример. Механизм полиспаста состоит из одного неподвижного и n-го количества подвижных блоков. Определить, какую силу Q нужно приложить, чтобы поднять груз Р (рис. 2. 13)

Рис. 2. 13. Механизм полиспаста

Решение. Сообщим концу каната, к которому приложена сила Q возможное перемещение Мгновенный центр скоростей первого блока находится в точке касания его с левой неподвижной ветвью каната. Тогда центр первого блока переместится вверх на величину поскольку он находится в два раза ближе к мгновенному центру скоростей этого блока, чем правая ветвь каната, которая получила перемещение

Проводя аналогичные рассуждения, получим, что центр второго блока переместится на величину а центр последнего n-го блока, к которому прикреплен канат с грузом, на величину В соответствии с принципом возможных перемещений составим уравнение возможных работ

Таким образом, при наличии, например, трех подвижных блоков выигрыш в силе равен 23=8, пяти – 25=32, а десяти – 210=1024 ! Поэтому данный механизм широко используется в различных грузоподъемных машинах.

Пример. Найти реакцию опоры В балки (рис. 2. 14). Рис. 2. 14. Рисунок к примеру

Решение. Отбрасываем опору В заменяя ее реакцией – Rв. Сообщаем системе возможное перемещение и составляем уравнение возможных работ Fsin 60 od. C – Rв d. В =0. Находим зависимость между перемещениями: d. C/2= d. В/3, откуда d. C=2 d. В/3. Тогда, подставляя в уравнение, получим Fsin 60 o 2 d. В/3 – Rв d. В =0,

Откуда Rв = Fsin 60 o 2 /3 =1, 15 Н. При определении реакций связей необходимо учесть, что связи могут лишать тело не одной, а нескольких степеней свободы, поэтому их реакции могут состоять из нескольких составляющих Для решения в этом случае нужно связи преобразовать таким образом, чтобы они освободили одну степень свободы, прикладывая в соответствующем направлении неизвестные силы или моменты.

Способы преобразования связей Наименование связи Жесткая заделка Изображение связи Иско. Преобразомая ванная связь реакция Rx Ry МА

Сколь зящая задел ка RA МА

Неподвижный шарнир Rx Ry

Пример. Определить реакции опор составной балки (рис. 2. 15, а), нагруженной силой F=10 к. Н. Рис. 2. 15. Составная балка

1. Отбросим опору В и приложим реакцию RВ (рис. 2. 25, б). Сообщаем системе возможное перемещение и составим уравнение возможных работ Находим зависимость между возможными перемещениями подставляя в уравнения работ, получим

2. Для определения момента в заделке преобразуем опору А (рис. 12. 15, в).

Зададим возможное перемещение, допускаемое наложенными связями, и составим уравнение возможных работ Из рис. 2. 15, в видно, что подставляя в уравнения работ, получим откуда

3. Для определения вертикальной составляющей реакции опоры А – RАY в преобразуем заделку согласно рис. 12. 15, г.

Зададим возможное перемещение, допускаемое наложенными связями, и составим уравнение возможных работ так как то

4. Для определения горизонтальной составляющей реакции заделки – RАХ в преобразуем ее согласно рис. 12. 15, д.

Зададим возможное перемещение и составим уравнение возможных работ Таким образом все реакции определены независимо друг от друга, что является преимуществом данного метода по сравнениями с методами геометрической статики.