§ 2. Предел функции на бесконечности П. 1. Бесконечно малые функции при x⟶∞ ОПР. 2. 1. Функция (x), определенная на луче [a; +∞) называется бесконечно малой при x⟶+∞, если для любого >0, существует такое число M>0, что при всех x>M, выполняется неравенство | (x)|< . На языке логических символов определение выглядит так: . Геометрический смысл бесконечно малой функции при заключается в том, что график этой функции неограниченно (в математике говорят «асимптотически» ) приближается к оси Ox.
![ОПР. 2. 2. Функция (x), определенная на луче (-∞; a] называется бесконечно малой](https://present5.com/presentation/17954678_143548326/image-2.jpg "ОПР. 2. 2. Функция (x), определенная на луче (-∞; a] называется бесконечно малой")
ОПР. 2. 2. Функция (x), определенная на луче (-∞; a] называется бесконечно малой при x⟶-∞, если для любого >0, существует такое число M>0, что при всех x<-M, выполняется неравенство | (x)|< . На языке логических символов определение выглядит так: Если функция является бесконечно малой и при x⟶+∞, и при x⟶-∞, то говорят, что функция бесконечно мала при x⟶∞, т. е.
Свойства бесконечно малых на бесконечности функций Теорема 2. 1. (о свойствах бесконечно малых функций) Постоянная функция y=c является бесконечно малой функцией при x⟶+∞ тогда и только тогда, когда c=0; 2. Если β(x) – бесконечно малая функция при x⟶+∞ и для всех x из некоторого луча [a; +∞) выполняется неравенство | (x)|<|β(x)|, то (x) также является бесконечно малой функцией при x⟶+∞; 3. Если (x) – бесконечно малая функция при x⟶+∞, то она ограничена на некотором луче [M; +∞); 4. Сумма двух бесконечно малых функций при x⟶+∞ также является бесконечно малой функцией при x⟶+∞; 5. Если (x) – бесконечно малая функция при x⟶+∞, а y=f(x) – ограниченная на некотором луче [a; +∞) функция, то их произведение также является бесконечно малой функцией при x⟶+∞. 1.
П. 2. Предел функции при x⟶∞ ОПР. 2. 3. Число b называется пределом функции y=f(x) при x⟶+∞, если. Пишут. ОПР. 2. 4. Число b называется пределом функции y=f(x) при x⟶+∞, если f(x)-b есть бесконечно малая функция, т. е f(x)-b= (x). Геометрический смысл предела функции при x⟶+∞ это наличие у функции горизонтальной асимптоты, т. е. если , то y=b является горизонтальной асимптотой функции при x⟶+∞.
Аналогично формулируются определения предела функции при x⟶-∞, x⟶∞. ОПР. 2. 5. Число b называется пределом функции y=f(x) при x⟶-∞, если ОПР. 2. 6. Число b называется пределом функции y=f(x) при x⟶∞, если Геометрический смысл предела функции при x⟶∞ это наличие у функции y=f(x) горизонтальной асимптоты, т. е. если , то y=b является горизонтальной асимптотой функции при x⟶-∞. Геометрический смысл предела функции при x⟶∞ это наличие у функции y=f(x) горизонтальной асимптоты, т. е. если , то y=b является горизонтальной асимптотой функции при x⟶∞.
Горизонтальные асимптоты x⟶+∞ y x⟶-∞ y b b x 0 0 x y x⟶∞ b 0 x
Свойства предела функции на бесконечности Теорема 2. 2 (о единственности предела) Если функция имеет предел при x⟶+∞ (x⟶-∞, x⟶∞ ), то он единственен. Теорема 2. 3 (об ограниченности функции, имеющей предел) Если функция имеет предел при x⟶+∞ (x⟶-∞, (-∞; М) и (M; +∞)), то она ограничена на некотором открытом луче (M; +∞)(на луче (-∞; М), на объединении лучей (-∞; М) и (M; +∞)).
Свойства предела функции на бесконечности Теорема 2. 6 (арифметические свойства передела) Пусть. Тогда: 1) ; 2) ; 3). ОПР. 2. 7. Функция y=f(x), определенная на объединении двух лучей (-∞; М) и (M; +∞), называется бесконечно большой при x⟶∞ , если. Пишут.
Свойства бесконечно больших функций Теорема 2. 7. Для того чтобы функция y=f(x) была бесконечно большой при x⟶∞ , необходимо и достаточно, чтобы функция y=1/f(x) была бесконечно малой при x⟶∞. Теорема 2. 8. Если функция y=f(x) - бесконечно большая при x⟶∞ , а функция y=g(x) такова, что , то функция y=f(x) g(x) является бесконечно большой при x⟶∞.
П. 4. Горизонтальные и наклонные асимптоты ОПР. 2. 8. Прямая y=kx+b называется асимптотой графика функции при x⟶∞, если ; иными словами, если отклонение графика функции y=f(x) от прямой y=kx+b неограниченно уменьшается при x⟶∞. Алгоритм отыскания асимптот 1. Вычислить. Если этот предел существует и равен числу b, то y=b- горизонтальная асимптота графика функции при x⟶∞. 2. Если предел , то у графика может быть наклонная асимптота. Тогда находят. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то асимптот нет, если он существует и равен k, то переходят к третьему шагу. 3. Вычислить. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то асимптот нет. Если этот предел существует и равен b, то уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b.
§ 3. Предел функции в точке П. 1. Бесконечно малые функции при x a ОПР. 3. 1. Функцию y= (x) называют бесконечно малой при x a, если для любого >0, существует такое число δ>0, что как только выполняется условие 0<|xa|<δ, выполняется неравенство | (x)|< . На языке логических символов определение выглядит так:
Свойства бесконечно малых в точке функций Теорема 3. 1. (о свойствах бесконечно малых функций при x a) 1. Постоянная функция y=c является бесконечно малой функцией при x a тогда и только тогда, когда c=0; 2. Если β(x) - бесконечно малая функция при x a и для всех x из проколотой окрестности точки a выполняется неравенство | (x)|<| β(x) |, то (x) также является бесконечно малой функцией при x a; 3. Если (x) - бесконечно малая функция при x a, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки a; 4. Сумма двух бесконечно малых функций при x a также является бесконечно малой функцией при x a; 5. Если (x) - бесконечно малая функция при x a, а y=f(x) - ограниченная в проколотой окрестности точки a функция, то их произведение y=f(x) также является бесконечно малой функцией при x a.
Следствие 1. Если (x) - бесконечно малая функция при x a, то c∙ (x), где c- любое действительное число, также является бесконечно малой функцией при x a. Следствие 2. Произведение двух (и вообще любого конечного числа) бесконечно малых функций при x a является бесконечно малой функцией при x a. Следствие 3. Если 1(x), 2(x), …, n(x) бесконечно малые функции при x a, то и c 1 1(x)+c 2 2(x)+ …+cn n(x), где c 1, c 2, …, cnлюбые действительные числа, также является бесконечно малой функцией при x a.
